更改

前面给出了[[因果态]]的定义，接下来讨论一个智能体是如何从观测到的时间序列数据中，自动地发现因果态呢？为了解决这个问题，计算力学建立了名为斑图重构机器（ϵ-machine）的模型，其中[[因果态]]所对应的划分映射被记为<math>\epsilon</math>。它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪声后识别其中的因果态。它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{t+1}=TS_t</math>，其中<math>S_t</math>为集合<math>\mathcal{S} </math>中的任意一个因果态，类似于一个宏观态。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>，<math>T</math>类似于一个粗粒化后的[[宏观动力学]]。每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都对应一个<math>\epsilon</math>映射，它和<math>T</math>函数一起组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>。后文“模型的重构”一节中会介绍，智能体的内在模型会根据观测到的新数据，动态更新<math>\epsilon</math>映射和<math>T</math>函数。

前面给出了[[因果态]]的定义，接下来讨论一个智能体是如何从观测到的时间序列数据中，自动地发现因果态呢？为了解决这个问题，计算力学建立了名为斑图重构机器（ϵ-machine）的模型，其中[[因果态]]所对应的划分映射被记为<math>\epsilon</math>。它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪声后识别其中的因果态。它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{t+1}=TS_t</math>，其中<math>S_t</math>为集合<math>\mathcal{S} </math>中的任意一个因果态，类似于一个宏观态。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>，<math>T</math>类似于一个粗粒化后的[[宏观动力学]]。每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都对应一个<math>\epsilon</math>映射，它和<math>T</math>函数一起组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>。后文“模型的重构”一节中会介绍，智能体的内在模型会根据观测到的新数据，动态更新<math>\epsilon</math>映射和<math>T</math>函数。

=== 柯氏复杂度 ===

=== '''统计复杂度''' ===

智能体在构建和优化斑图重构机器的过程中，由于计算资源的限制，不能无限制地增加模型的大小。因此我们需要一个能够量化模型复杂度的指标，以便监控和调整模型的大小，确保模型能匹配已有的计算资源。在已有的众多复杂度量化指标中，柯氏复杂度是最符合我们要求的一个指标，[[柯式复杂度]][math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是指在通用确定性[[图灵机]]（Universal Turing Machine，简称UTM）上运行时生成字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最小程序长度。但它也有比较明显的两个问题，第一个问题是它的不可计算性，由于[[图灵机与计算问题|图灵停机]]问题的存在，我们无法构造一个通用算法来决定任意程序是否会在给定输入上停机。这意味着我们不能有效地判断哪些程序是最短的，因为没有方法可以保证找到最短程序的存在与否。由于没有通用的方法来验证或找到描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最短程序，我们就无法计算柯氏复杂度。即使我们能够找到一个描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的程序，我们也无法保证它是最短的。为了确定程序是否为最短程序，我们需要检查所有可能的程序，而这一过程在计算上是不可行的。第二个问题是它可能无法度量程序的结构和动态特性，因为柯式复杂度[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]需要考虑字符串中的所有比特，包括随机状态生成的比特。若[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]中字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]大部分是由随机状态生成，这样会导致[math]\displaystyle{ x }[/math]的特征和重要结构被掩盖。

智能体在构建和优化斑图重构机器的过程中，由于计算资源的限制，不能无限制地增加模型的大小。因此我们需要一个能够量化模型复杂度的指标，以便监控和调整模型的大小，确保模型能匹配已有的计算资源。在已有的众多复杂度量化指标中，柯氏复杂度是最符合我们要求的一个指标，[[柯式复杂度]][math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是指在通用确定性[[图灵机]]（Universal Turing Machine，简称UTM）上运行时生成字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最小程序长度。但它也有比较明显的两个问题，第一个问题是它的不可计算性，由于[[图灵机与计算问题|图灵停机]]问题的存在，我们无法构造一个通用算法来决定任意程序是否会在给定输入上停机。这意味着我们不能有效地判断哪些程序是最短的，因为没有方法可以保证找到最短程序的存在与否。由于没有通用的方法来验证或找到描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最短程序，我们就无法计算柯氏复杂度。即使我们能够找到一个描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的程序，我们也无法保证它是最短的。为了确定程序是否为最短程序，我们需要检查所有可能的程序，而这一过程在计算上是不可行的。第二个问题是它可能无法度量程序的结构和动态特性，因为柯式复杂度[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]需要考虑字符串中的所有比特，包括随机状态生成的比特。若[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]中字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]大部分是由随机状态生成，这样会导致[math]\displaystyle{ x }[/math]的特征和重要结构被掩盖。

为了解决上文中柯式复杂度的两个明显问题，计算力学提出了统计复杂度[math]\displaystyle{ C_μ(x) }[/math]的概念，用来量化模型的复杂性，它可以反映[math]\displaystyle{ x }[/math]的结构和[[动态特性]]，以及能够计算出有效建模所需的计算资源。它的公式为

为了解决上文中柯式复杂度的两个明显问题，计算力学提出了统计复杂度[math]\displaystyle{ C_μ(x) }[/math]的概念，用来量化模型的复杂性，它可以反映[math]\displaystyle{ x }[/math]的结构和[[动态特性]]，以及能够计算出有效建模所需的计算资源。它的公式为

</math>的复杂性度量。它反映了在给定精度<math>

</math>的复杂性度量。它反映了在给定精度<math>

\mu

\mu

</math>下，最小模型的复杂度，伯努利图灵机（Bernoulli-Turing machine，简称BTM）是确定性通用图灵机的一种扩展，可以计算离散随机序列。<math>

</math>下，最小模型的复杂度，伯努利图灵机（Bernoulli-Turing machine，简称BTM）是确定性通用图灵机的一种扩展，可以计算离散随机序列。在运行过程中，伯努利图灵机按照常规图灵机的方式读取纸带上的符号和自身的当前状态，并依据内置的规则表进行操作。与普通图灵机不同的是，当遇到与随机相关的规则时，它会根据随机源产生的随机结果来决定具体的执行路径。例如，在某个状态下，图灵机可能有两种可选的操作，普通图灵机根据确定的规则选择其中一种，而伯努利图灵机则通过随机源以一定的概率来决定执行哪一种操作。<math>

M_{\min }(x \mid \mathrm{BTM})

M_{\min }(x \mid \mathrm{BTM})

</math>这是在给定伯努利图灵机背景下的最小化模型<ref>C. H. Bennett. Dissipation, information, computational complexity, and the definition of organization. In D. Pines, editor, ''Emerging Syntheses in the Sciences''. Addison-Wesley,

</math>这是在给定伯努利图灵机背景下的最小化模型<ref>C. H. Bennett. Dissipation, information, computational complexity, and the definition of organization. In D. Pines, editor, ''Emerging Syntheses in the Sciences''. Addison-Wesley,