更改

在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。

在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。

对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>通过投影矩阵<math>\Phi</math>投影到<math>A</math>的空间上。

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>通过投影矩阵<math>\Phi</math>投影到<math>A</math>的空间上。

比如，我们有某条微观状态序列<math>\{ s^{(1)}, ..., s^{(6)} \}</math> 是 <math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3  \}</math>，对于某个投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，我们得到的投影后的宏观状态序列为<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2  \}</math>

比如，我们有某条微观状态序列<math>\{ s^{(1)}, ..., s^{(6)} \}</math> 是 <math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3  \}</math>，对于投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，我们得到的投影后的宏观状态序列为<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2  \}</math>

'''''定义1'''''：'''Lumped process'''

'''''定义1'''''：'''Lumped process'''

# '''转移概率(Transition probability)，即式子(3.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致'''

# '''转移概率(Transition probability)，即式子(3.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致'''

不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对lumpable和non-lumpable矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对lumpable和non-lumpable矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]从图2的lumpable例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，lumpable的动力学TPM是可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。

从图2的lumpable例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，lumpable的动力学TPM是可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。

在non-lumpable的矩阵，我们或许可以给它强制定义一个lumped process的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个lumped process并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>\pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。而<math>\pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个lumped process。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的适用是指，<math> \pi </math>按照这个lumped process到达对应的宏观态的概率，跟按照微观动力学后聚类到达宏观态的概率是相同的。

在non-lumpable的矩阵，我们或许可以给它强制定义一个lumped process的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个lumped process并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>\pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。而<math>\pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个lumped process。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的适用是指，<math> \pi </math>按照这个lumped process到达对应的宏观态的概率，跟按照微观动力学后聚类到达宏观态的概率是相同的。