| 第1行： |
第1行： |
| − | 奇异值分解定理（Singular Value Decomposition Theorem，简称SVD定理）是线性代数中的一个基本定理，它揭示了任意矩阵的几何本质。
| + | #REDIRECT[[SVD分解]] |
| − | | |
| − | 几何解释
| |
| − | 从几何角度来看，对于任意线性映射 <math>T: K^n \to K^m</math>，我们总能找到 <math>K^n</math> 和 <math>K^m</math> 的规范正交基，使得：
| |
| − | | |
| − | <math>T</math> 将 <math>K^n</math> 中的第 <math>i</math> 个基向量映射到 <math>K^m</math> 中第 <math>i</math> 个基向量的非负实数倍
| |
| − | 剩余的基向量被映射到零向量
| |
| − | 形式表述
| |
| − | 任意矩阵 <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 可以分解为：
| |
| − | | |
| − | <math>A = U\Sigma V^T</math>
| |
| − | | |
| − | 其中：
| |
| − | | |
| − | <math>U \in \mathbb{R}^{m \times m}</math> 是正交矩阵
| |
| − | <math>V \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> 是正交矩阵
| |
| − | <math>\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 是对角矩阵，对角线上的元素 <math>\sigma_i</math> 称为奇异值，且满足 <math>\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r \geq 0</math>
| |
| − | 重要性质
| |
| − | | |
| − | 奇异值 <math>\sigma_i</math> 是唯一的
| |
| − | 矩阵 <math>A</math> 的秩等于非零奇异值的个数
| |
| − | <math>U</math> 的列向量称为左奇异向量
| |
| − | <math>V</math> 的列向量称为右奇异向量
| |