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本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学不随时间变化的情况，不讨论连续马尔科夫过程。我们可以定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为n的马尔科夫矩阵。同样的，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。
我们假设投影函数<math>R</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。
如果<math>T:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
如果<math>T:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
马尔科夫链的粗粒化可以分成硬划分(Hard partitioning)和软划分(Soft partitioning)。硬划分是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而软划分则会有可能出现一个微观状态被分在属于多个宏观类的情况。
在硬分类的情况下，<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math><ref name=":1" />，即一个表示<math>i</math>属于<math>j</math>列的零一分组矩阵。如果是软分类的话，<math>V</math>则不一定会是零一矩阵。
而
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