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对于一个任意状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。
对于一个任意状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。
[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = \Phi s^{(t)} (\Phi </math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。
[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图1：矩阵粗粒化示例]]在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = \Phi s^{(t)} (\Phi </math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。
对于任意状态划分 <math>\Phi</math>，我们能够定义一个'''简化过程（lumped process）'''，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>通过投影矩阵<math>\Phi</math>投影到<math>A</math>的空间上。
对于任意状态划分 <math>\Phi</math>，我们能够定义一个'''简化过程（lumped process）'''，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>通过投影矩阵<math>\Phi</math>投影到<math>A</math>的空间上。
我们看到从<math>s^{(t)}</math>到<math>A^{(t+1)}</math>存在微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 的这一条路径。我们现在有了微观动力学<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>，也有了微观到宏观的粗粒化过程<math>A</math>。所以式子（1）描述的简化过程正是先走微观动力学再聚合的这条路径的<math>A^{(t)}</math>。它描述了我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}</math>（或状态分布<math>\pi</math>），一直走微观动力学，然后在<math>t</math>时刻做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。
我们看到从<math>s^{(t)}</math>到<math>A^{(t+1)}</math>存在微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 的这一条路径。我们现在有了微观动力学<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>，也有了微观到宏观的粗粒化过程<math>A</math>。所以式子（1）描述的简化过程正是先走微观动力学再聚合的这条路径的<math>A^{(t)}</math>。它描述了我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}</math>（或状态分布<math>\pi</math>），一直走微观动力学，然后在<math>t</math>时刻做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。
需要注意的是，虽然任意一个状态划分 <math>A</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，'''但不是所有的这些简化过程都符合实际意义的。'''他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（1）中微观状态的宏观投影，例如图（3）中的第二个例子，也'''不一定会拥有马尔科夫性。'''
需要注意的是，虽然任意一个状态划分 <math>A</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，'''但不是所有的这些简化过程都符合实际意义的。'''他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（1）中微观状态的宏观投影，例如图（2）中的第二个例子，也'''不一定会拥有马尔科夫性。'''
我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做成块的划分：
我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做成块的划分：
# '''转移概率(transition probability)，即式子(1.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''
# '''转移概率(transition probability)，即式子(1.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''
[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumpable process v.s. lumped process）相似。
[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图2：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumpable process v.s. lumped process）相似。
从图（2）的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。也就是说，无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。
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