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</math>
</math>
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这里，<math>𝑠_𝑖</math>为矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>的第<math>i</math>个奇异值，<math>𝜅_𝑖</math>为矩阵<math>Σ^{−1}</math>的第i个奇异值。因此，我们只需要分析这两个奇异值构成的联合谱，即可定量刻画系统的因果涌现特性了。也就是说，我们把原转移概率矩阵的奇异值分解转变为了对<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>这两个矩阵的奇异值分解问题。其中，<math>Σ^{−1}<math>为正向动力学，即(*)式的协方差矩阵之逆，而<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>则是(*)式的逆向动力学的协方差矩阵。
这里，<math>𝑠_𝑖</math>为矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>的第<math>i</math>个奇异值，<math>𝜅_𝑖</math>为矩阵<math>Σ^{−1}</math>的第i个奇异值。因此，我们只需要分析这两个奇异值构成的联合谱，即可定量刻画系统的因果涌现特性了。也就是说，我们把原转移概率矩阵的奇异值分解转变为了对<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>这两个矩阵的奇异值分解问题。其中，<math>Σ^{−1}</math>为正向动力学，即<math>p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的协方差矩阵之逆，而<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>则是<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>的逆向动力学的协方差矩阵。
==高斯噪声迭代系统基于SVD的因果涌现==
同样，在规定<math>\epsilon\geq 0</math>之后，我们可以筛选两个协方差矩阵的奇异值来计算因果涌现，即
<blockquote>
<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)\equiv\hat{\gamma}_\alpha(\epsilon)-\hat\gamma_\alpha=\frac{1}{r_\epsilon}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r_\epsilon}\ln s_i+\frac{\alpha}{4r_\epsilon}\sum_{i=1}^{r_\epsilon}\ln\kappa_i-\frac{1}{n}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r}\ln s_i-\frac{\alpha}{4n}\sum_{i=1}^{n}\ln\kappa_i.
</math>
</blockquote>
其中<math>r_\epsilon\equiv\min\{r_\epsilon(A^T\Sigma^{-1} A),r_\epsilon(\Sigma^{-1})\}</math>取得是两个矩阵有效秩的最小值。<math>\epsilon= 0</math>就是清晰因果涌现，<math>\epsilon> 0</math>就是模糊因果涌现。
根据连续系统基于有效信息的的因果涌现
<blockquote>
<math>\Delta\mathcal{J}^{*}=\frac{1}{2k}\sum_{i=1}^{k}\ln s_i-\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}\ln s_i,
</math>
</blockquote>
我们可以近似得到线性相关关系
<blockquote>
<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)\simeq(1-\frac{\alpha}{4})\Delta\mathcal{J}^*.
</math>
</blockquote>
更精确的证明<math>\Gamma_\alpha</math>与<math>EI</math>可以相互替代。
=测试量化因果涌现的效果=
=测试量化因果涌现的效果=