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== 变量角度的因果涌现 ==

== 变量角度的因果涌现 ==

下面从变量角度，分别给出了空间、时间和时空因果涌现的布尔网络实例，从微观系统机制、粗粒化映射和宏观尺度分析三个方面进行描述和分析。注：[math]S_m[/math]表示微观系统；[math]S_M[/math]表示粗粒化得到的宏观系统。微观元素是布尔值且用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]标记，宏观元素用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]标记。微观状态标记为[math]\{1,0\}[/math]，宏观状态标记为{“on”，“off”,“bursting”，“quiet”…}。

下面从变量角度，分别给出了空间、时间和时空因果涌现的布尔实例，从微观动力学、粗粒化映射和宏观动力学三个方面进行描述和分析。注：[math]S_m[/math]表示微观系统；[math]S_M[/math]表示宏观系统。微观变量是布尔值且用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]标记，宏观变量用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]标记。每个微观变量的状态标记为[math]\{1,0\}[/math]，宏观变量的状态标记为{“on”，“off”,“bursting”，“quiet”…}。

'''1.提高确定性实例分析'''

'''1.提高确定性实例分析'''

'''微观尺度'''：微观系统由四个布尔元素组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中A和B一组，C和D一组，其中一个组中的每个元素[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个元素[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A中间表格为详细的对应关系。举例来看，假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个元素有0.7的概率为0，0.3的概率为1，AB组水平的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种组状态概率由组成元素单独的状态概率相乘得到，所以分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，满足概率之和为1。

'''微观动力学'''：系统微观态由四个布尔变量组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中A和B一组，C和D一组，其中一个组中的每个变量[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个变量[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A中间表格为详细的对应关系。举例来看，假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个元素有0.7的概率为0，0.3的概率为1，AB组水平的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种组状态概率由组成元素单独的状态概率相乘得到，所以分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，满足概率之和为1。

考虑到每个元素都有两个可能状态，则系统总共有[math]2^4=16[/math]个可能的状态。接着上面的例子，假设[math]t[/math]时刻CD = {cd}，而且AB = {ab}（这里a,b,c,d指代元素状态，可取0或1），可以按照上述机制分别计算[math]t+1[/math]时刻AB和CD的状态分布{a'b'}和{c'd'}，又因为AB和CD的状态在同一时刻是互相独立的，那么系统[math]t+1[/math]时刻状态取{a'b'c'd'}的概率等于两组元素分别{a'b'}和{c'd'}的概率相乘，也就可以得到状态转移之间的关系。避免先验信息和其他因果关系的影响，我们将[math]t[/math]时刻系统以等概率设置为所有可能的微观状态，即每种状态概率都为1/16，可以根据上述计算方式得到状态之间的概率转移矩阵 16 × 16 [math]S_m[/math]。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(S_m) = Det(S_m) - Deg(S_m) = 1.35 - 0.20 =1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = EI(S_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]。

考虑到每个元素都有两个可能状态，则系统总共有[math]2^4=16[/math]个可能的状态。接着上面的例子，假设[math]t[/math]时刻CD = {cd}，而且AB = {ab}（这里a,b,c,d指代元素状态，可取0或1），可以按照上述机制分别计算[math]t+1[/math]时刻AB和CD的状态分布{a'b'}和{c'd'}，又因为AB和CD的状态在同一时刻是互相独立的，那么系统[math]t+1[/math]时刻状态取{a'b'c'd'}的概率等于两组元素分别{a'b'}和{c'd'}的概率相乘，也就可以得到状态转移之间的关系。避免先验信息和其他因果关系的影响，我们将[math]t[/math]时刻系统以等概率设置为所有可能的微观状态，即每种状态概率都为1/16，可以根据上述计算方式得到状态之间的概率转移矩阵 16 × 16 [math]S_m[/math]。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(S_m) = Det(S_m) - Deg(S_m) = 1.35 - 0.20 =1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = EI(S_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]。