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在这个例子中，系统的动力学最原始的表达为一种微观变量的因果机制（如图1中的中间的表格），由每个单独变量的因果机制，我们便可以展开得到整个系统的动力学，即因果机制。

在这个例子中，系统的动力学最原始的表达为一种微观变量的因果机制（如图1中的中间的表格），由每个单独变量的因果机制，我们便可以展开得到整个系统的动力学，即因果机制。

* 首先，对于单独任意一个变量（图中的节点），它的微观机制可以被看做一个带噪声的AND门操作。图1(a)中的表格可以被解读为：假设[math]t[/math]时刻CD = {00}的条件下，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个变量有0.7的条件概率为0，0.3的条件概率为1。

* 首先，对于单独任意一个变量（图1(a)中的节点），它的微观机制可以被看做一个带噪声的AND门操作。图1(a)中的表格可以被解读为：假设[math]t[/math]时刻CD = {00}的条件下，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个变量有0.7的条件概率为0，0.3的条件概率为1。

* 其次，由单个变量的微观机制，我们可以进一步得到AB联合变量的动力学机制，即在给定C、D变量的取值条件下，A，B变量的联合状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种联合状态的条件概率由A和B单独状态所对应的条件概率的乘积得到。所以这四种联合状态的条件概率分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，且满足概率之和为1的归一化条件。类似地，我们可以考虑在CD={01,10,11}条件下，AB联合变量的条件概率。

* 其次，由单个变量的微观机制，我们可以进一步得到AB联合变量的动力学机制，即在给定C、D变量的取值条件下，A，B变量的联合状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种联合状态的条件概率由A和B单独状态所对应的条件概率的乘积得到。所以这四种联合状态的条件概率分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，且满足概率之和为1的归一化条件。类似地，我们可以考虑在CD={01,10,11}条件下，AB联合变量的条件概率。

* 进一步，我们也可以对称地得到在A和B在t时刻的取值为AB={00,01,10,11}的条件下，CD联合变量分别取00,01,10,11的条件概率。

* 进一步，我们也可以对称地得到在A和B在t时刻的取值为AB={00,01,10,11}的条件下，CD联合变量分别取00,01,10,11的条件概率。

* 然后，将所有这些t时刻的状态综合在一起，我们便可以得到在ABCD四变量形成的联合状态下（总共有[math]2^4=16[/math]种可能性，即16个微观态），ABCD在t+1取16种可能状态值的条件概率（因为在给定t时刻状态的条件下，ABCD的取值彼此独立，因此联合变量ABCD的条件概率取值可以将上述每一个条件概率乘到一起得到），从而得到微观态的16 × 16的概率转移矩阵 [math]P_m[/math]——即微观动力学（如图c所示）。

* 然后，将所有这些t时刻的状态综合在一起，我们便可以得到在ABCD四变量形成的联合状态下（总共有[math]2^4=16[/math]种可能性，即16个微观态），ABCD在t+1取16种可能状态值的条件概率（因为在给定t时刻状态的条件下，ABCD的取值彼此独立，因此联合变量ABCD的条件概率取值可以将上述每一个条件概率乘到一起得到），从而得到微观态的16 × 16的概率转移矩阵 [math]P_m[/math]——即微观动力学（如图1(b)所示）。

* 最后，根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(P_m) = Det(P_m) - Deg(P_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_m) = EI(P_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]，其中Det表示确定度，Deg表示简并度。

* 最后，根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(P_m) = Det(P_m) - Deg(P_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_m) = EI(P_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]，其中Det表示确定度，Deg表示简并度。

'''粗粒化映射'''：Hoel等人给出的具体的粗粒化方案为：将微观变量集合[math]X_m = \{ABCD\}[/math]归并为两个宏观变量，即[math]X_M = {α, β}[/math]，其中[math]\alpha=AB[/math]，[math]\beta=CD[/math]。并且，[math]\alpha,\beta[/math]的取值集合为：{"off" ,"on"}。同时，我们可以定义微观变量取值到宏观变量取值的对应规则，如图B中的表所示。

'''粗粒化映射'''：Hoel等人给出的具体的粗粒化方案为：将微观变量集合[math]X_m = \{ABCD\}[/math]归并为两个宏观变量，即[math]X_M = {α, β}[/math]，其中[math]\alpha=AB[/math]，[math]\beta=CD[/math]。并且，[math]\alpha,\beta[/math]的取值集合为：{"off" ,"on"}。同时，我们可以定义微观变量取值到宏观变量取值的对应规则，如图2(a)中的映射所示。

'''宏观动力学'''：粗粒化后，系统现在由2个宏观变量组成，每个宏观变量有2个态，所以共有[math]2^2=4[/math]个宏观态。根据系统微观态的TPM和粗粒化映射规则，我们可以得到一个衍生的宏观态的机制（如图C所示），或等价的一个 4 × 4 的概率转移矩阵（TPM）：[math]P_M[/math]。粗粒化后，宏观态的概率转移矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观动力学[math]EI(P_M) = Det(P_M) - Deg(P_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 0.78[/math]，高于微观动力学的[math]EI(P_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观动力学的因果性优于微观动力学，因果涌现发生。

'''宏观动力学'''：粗粒化后，系统现在由2个宏观变量组成，每个宏观变量有2个态，所以共有[math]2^2=4[/math]个宏观态。根据系统微观态的TPM和粗粒化映射规则，我们可以得到一个衍生的宏观态的机制（如图2(a)中表格所示），或等价的一个 4 × 4 的概率转移矩阵（TPM，如图2(b)所示）：[math]P_M[/math]。粗粒化后，宏观态的概率转移矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观动力学[math]EI(P_M) = Det(P_M) - Deg(P_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 0.78[/math]，高于微观动力学的[math]EI(P_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观动力学的因果性优于微观动力学，因果涌现发生。

本例中，在宏观动力学的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(P_m) = 0.34[/math]; [math]Det(P_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(P_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(P_M) = 0.006[/math]）。

本例中，在宏观动力学的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(P_m) = 0.34[/math]; [math]Det(P_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(P_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(P_M) = 0.006[/math]）。