更改

<math>\mathbb{P}(X_t=i,t\in B\subseteq [0,\infty))=1-\lim_{n\to \infty}\sum_{j_1,\dots,j_n\neq i}\mathbb{P}(X_{q_1}=j_i,\dots,X_{q_n}=j_n)</math>

<math>\mathbb{P}(X_t=i,t\in B\subseteq [0,\infty))=1-\lim_{n\to \infty}\sum_{j_1,\dots,j_n\neq i}\mathbb{P}(X_{q_1}=j_i,\dots,X_{q_n}=j_n)</math>

其中<math>q_1,q_2,dots</math>是有理数的枚举。

其中<math>q_1,q_2,\dots</math>是有理数的枚举。

具有右连续性的随机过程中的每一条路径<math>t\mapsto X_t(\omega)</math>在每个新状态中必须保持一段时间不变，因此一共有三种可能的路径类型。第一种类型中有无限次跳跃，但是在任意一个给定的区间<math>[0,t]</math>中只有有限次。第二种类型中只有有限次跳跃，最终会永远“卡”在某一个状态中。第三种类型在一个有限的区间中发生无限次跳跃。第三种类型中，经过爆炸时间<math>\zeta</math>,整个随机过程会重新从头开始，之后可能会再次爆炸（即在有限的区间中发生无限次跳跃），可能会可能会有无限次跳跃，也可能只有有限次跳跃。

具有右连续性的随机过程中的每一条路径<math>t\mapsto X_t(\omega)</math>在每个新状态中必须保持一段时间不变，因此一共有三种可能的路径类型。第一种类型中有无限次跳跃，但是在任意一个给定的区间<math>[0,t]</math>中只有有限次。第二种类型中只有有限次跳跃，最终会永远“卡”在某一个状态中。第三种类型在一个有限的区间中发生无限次跳跃。第三种类型中，经过爆炸时间<math>\zeta</math>,整个随机过程会重新从头开始，之后可能会再次爆炸（即在有限的区间中发生无限次跳跃），可能会可能会有无限次跳跃，也可能只有有限次跳跃。

我们称<math>0=J_0,J_1,\dots</math>为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的跳跃时间，其中<math>J_0=0,J_{n+1}=inf\{t\geq J_n:X_t\neq X_{J_n}\}</math>，指状态发生改变的时间点。每<math>S_1,S_2,\dots</math>称为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的停留时间，其中

我们称<math>0=J_0,J_1,\dots</math>为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的跳跃时间，其中<math>J_0=0,J_{n+1}=\inf\{t\geq J_n:X_t\neq X_{J_n}\}</math>，指状态发生改变的时间点。每<math>S_1,S_2,\dots</math>称为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的停留时间，其中

<math>S_n=\begin{cases}

<math>S_n=\begin{cases}

从一个连续时间随机过程中，我们可以取一系列离散时间点得到一个离散时间随机过程，我们称由<math>Y_n=X_{J_n}</math>决定的离散时间随机过程<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的跳跃过程，特别地，当<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>为离散马尔科夫链时，也称它为跳跃链。这仅仅是在<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>爆炸之前的取值序列，并没有给出爆炸发生之后的信息。

从一个连续时间随机过程中，我们可以取一系列离散时间点得到一个离散时间随机过程，我们称由<math>Y_n=X_{J_n}</math>决定的离散时间随机过程<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的跳跃过程，特别地，当<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>为离散马尔科夫链时，也称它为跳跃链。这仅仅是在<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>爆炸之前的取值序列，并没有给出爆炸发生之后的信息。

由于我们不需要考虑在一个随机过程发生爆炸之后的行为，所以在<math>I</math>中添加一个新状态<math>\infty</math>来统一描述它。我们规定，<math>X_t=\infty</math>当<math>t\geq\zeta</math>时。我们称满足这种规定的随机过程为极小过程，极小过程指的并不是状态取值极小，而是当过程活跃的时间区间。注意一个极小过程可以由停留时间和跳跃过程中所蕴含的信息重建，因此通过指定<math>S_1,S_2,\dots</math>和<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>的联合分布，我们可以对<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的概率行为进行另一种“可数的”描述。例如，<math>X_t=i</math>的概率可以由下面的式子描述：

由于我们不需要考虑在一个随机过程发生爆炸之后的行为，所以可以在<math>I</math>中添加一个新状态<math>\infty</math>来统一描述它。我们规定，<math>X_t=\infty</math>当<math>t\geq\zeta</math>时。我们称满足这种规定的随机过程为极小过程，极小过程指的并不是状态取值极小，而是当过程活跃的时间区间。注意一个极小过程可以由停留时间和跳跃过程中所蕴含的信息重建，因此通过指定<math>S_1,S_2,\dots</math>和<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>的联合分布，我们可以对<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的概率行为进行另一种“可数的”描述。例如，<math>X_t=i</math>的概率可以由下面的式子描述：

<math>\mathbb{P}(X_t=i)=\sum^{\infty}_{n=0}\mathbb{P}(Y_n=i,J_n\leq t<J_{n+1})</math>

<math>\mathbb{P}(X_t=i)=\sum^{\infty}_{n=0}\mathbb{P}(Y_n=i,J_n\leq t<J_{n+1})</math>