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→连续时间马尔科夫链的基础
====连续时间马尔科夫链的基础====
====连续时间马尔科夫链的基础====
=====时齐性=====
与离散时间马尔科夫链相同，若连续马尔科夫链的转移概率<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>与初始时刻<math>s</math>无关，那么称该马尔科夫链是时齐的。简记<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)=P_{ij}(t)</math>，相应地记转移概率矩阵为<math>P(t)</math>。特别的，<math>P(0)=I</math>。
=====C-K方程=====
与离散时间马尔科夫链相同，连续马尔科夫链也能得到C-K方程：
<math>P_{ij}(t+s)=\sum_{k\in S}P_{ik}(t)P_{kj}(s),</math>
对应的矩阵形式为
<math>P(t+s)=P(t)P(s)</math>。
上式中乘积转化为求和，这会自然地联想到指数函数。由于指数函数具有特殊的求导性质，所以考察转移概率矩阵的变化率
<math>
\begin{aligned}
&\frac{1}{\Delta t}\left(P(t+\Delta t)-P(t)\right)\\
&=\frac{1}{\Delta t}\left(P(t)P(\Delta t)-P(t)\right)\\
&=P(t)\left(\frac{P(\Delta t)-I}{\Delta t}\right)。
\end{aligned}
</math>
易知，当<math>\Delta t \to 0</math>，有<math>P(\Delta t)\to I</math>。那么，假设
<math>\lim_{\Delta t\to 0}\frac{P(\Delta t)-I}{\Delta t}</math>存在并记为<math>Q</math>，则
<math>\frac{d}{dt}P(t)=P(t)Q</math>，
称为前向方程。
同理，由于
<math>
P(t+\Delta t)=P(\Delta t)P(t),
</math>
可得
<math>\frac{d}{dt}P(t)=QP(t)</math>，
称为后向方程。
进一步，由初值条件<math>P(0)=I</math>，
可得
<math>P(t)=\exp(Qt)</math>。
==连续时间马尔科夫链==
==连续时间马尔科夫链==