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→高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现
==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==
==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==
TPM矩阵可以通过SVD分解直接得到奇异值谱，在状态空间中基于不同状态对应的奇异值，进行因果涌现的计算，只要状态是离散的，不管是有限的还是可数的，都可以进行因果涌现的计算。但是连续空间上的动力系统的状态数量不可数无穷多的，无法用同样的方法削减奇异值数量。因为本质上连续空间之间的势是相同的，无穷集可以与其真子集形成一一映射，因此无论怎么删减状态数量，剩余的状态数量依然是无穷多的，这就如同一条直线上的点其实和平面上一样多类似。因此，对于高斯噪声迭代系统，我们需要用新的方法进行因果涌现的判断和定量化，即从状态空间的奇异值变为欧氏空间的奇异值。TPM矩阵本质上是离散条件概率<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>构成的矩阵，矩阵的第i行第j列代表<math>x_t=i</math>的条件下<math>x_{t+1}=j</math>的概率，因此从条件概率的角度类比到连续系统，高斯迭代系统的概率转移矩阵为：
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<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},
<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},
</math>
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在离散情况下，由于<math>𝑃</math>的奇异值的平方为矩阵<math>𝑃⋅𝑃^𝑇</math>的特征值，故计算连续情况下的<math>𝑃⋅𝑃^𝑇</math>对应：
在离散情况下，由于<math>𝑃</math>的奇异值的平方为矩阵<math>𝑃⋅𝑃^𝑇</math>的特征值，故计算连续情况下的<math>𝑃⋅𝑃^𝑇</math>对应为函数：
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<math> K(\textbf{x},\textbf{y})=\int_{-\infty}^\infty p(\textbf{z}|\textbf{x})p(\textbf{z}|\textbf{y})d\textbf{z}=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\det(2\Sigma)^{-\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{4}(\textbf{x}-\textbf{y})^T(A^T\Sigma^{-1}A)(\textbf{x}-\textbf{y})\right\}\equiv\mathcal{K}(\textbf{x}-\textbf{y}).
<math> K(\textbf{x},\textbf{y})=\int_{-\infty}^\infty p(\textbf{z}|\textbf{x})p(\textbf{z}|\textbf{y})d\textbf{z}=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\det(2\Sigma)^{-\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{4}(\textbf{x}-\textbf{y})^T(A^T\Sigma^{-1}A)(\textbf{x}-\textbf{y})\right\}\equiv\mathcal{K}(\textbf{x}-\textbf{y}).
</math>
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可以看到，由于[math]K(\textbf{x},\textbf{y})[/math]仅仅是[math]\textbf{x}-\textbf{y}[/math]的函数，因此，我们可以将[math]\textbf{x}-\textbf{y}[/math]命名为一个新的变量[math]\textbf{z}[/math]，新的函数[math]\mathcal{K}[/math]即为一个关于[math]\textbf{z}[/math的一元函数
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因此，<math>𝑝(𝑦|𝑥)</math>的奇异值平方就是算子<math>\textbf{Κ}</math>的特征值。假设<math>\textbf{Κ}</math>的特征值为<math>\zeta^2</math>，特征函数为：<math>\psi(𝑧)</math>，
因此，<math>𝑝(𝑦|𝑥)</math>的奇异值平方就是算子<math>\textbf{Κ}</math>的特征值。假设<math>\textbf{Κ}</math>的特征值为<math>\zeta^2</math>，特征函数为：<math>\psi(𝑧)</math>，