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→动力学可逆性
可逆性最强的情况下，动力系统可以直接写成可逆映射
可逆性最强的情况下，动力系统可以直接写成可逆映射
<blockquote>
<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡 +\xi_𝑡
<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡, x_t=A^{-1}x_{t+1}-A^{-1}a_0
</math>
</blockquote>
此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>可以相互建立一一映射。而<math>A</math>不可逆或存在噪声<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的情况下，会造成映射的不可逆，因此我们只能通过近似可逆性来度量以上两种情况的可逆性。我们可以发现，当噪声协方差同时满足<math>\Sigma\to 0</math>, <math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\to 0</math>，即正向动力学和逆向动力学的噪声协方差矩阵均区域0的时候，整个动力学可以近似为<math>x_{t+1}=a_0+Ax_t+\varepsilon_t\to Ax_t+a_0</math>和<math>x_{t}=A^\dagger x_{t+1}-A^\dagger a_0-A^\dagger\varepsilon_t\to A^\dagger x_t-A^\dagger a_0</math>，此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>之间的的条件概率分布可以写成狄拉克分布
<blockquote>
<math>
p(x_{t+1}|x_t)=\delta(x_{t+1}-Ax_t-a_0), p(x_t|x_{t+1})=\delta(x_t-A^\dagger x_{t+1}+A^\dagger a_0)
</math>
</math>
</blockquote>
使动力系统的可逆性达到最强。因此我们只要寻找一种同时包含<math>\Sigma</math>和<math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T</math>的指标，来度量近似可逆性。
我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。
我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。
==TPM矩阵的近似动力学可逆性与因果涌现==
==TPM矩阵的近似动力学可逆性与因果涌现==