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→基本概念
其中，[math]f_m[/math] 表示微观动力学，[math]f_M[/math] 表示宏观动力学，宏观的状态和微观的状态通过一个粗粒化函数 [math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math] 和 [math]f_M[/math] 都是马尔科夫链，对 [math]f_m[/math] 进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到 [math]f_M[/math]。<math> EI </math> 是[[有效信息]]的度量。由于微观动力学可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果效应强度]]比较弱，所以通过粗粒化，就有可能得到一个因果效应更强的宏观动力学。所谓的因果涌现，就是指粗粒化操作使得动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，并且宏观动力学与微观动力学的[[有效信息]]之差被定义为'''因果涌现强度'''。
其中，[math]f_m[/math] 表示微观动力学，[math]f_M[/math] 表示宏观动力学，宏观的状态和微观的状态通过一个粗粒化函数 [math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math] 和 [math]f_M[/math] 都是马尔科夫链，对 [math]f_m[/math] 进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到 [math]f_M[/math]。<math> EI </math> 是[[有效信息]]的度量。由于微观动力学可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果效应强度]]比较弱，所以通过粗粒化，就有可能得到一个因果效应更强的宏观动力学。所谓的因果涌现，就是指粗粒化操作使得动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，并且宏观动力学与微观动力学的[[有效信息]]之差被定义为'''因果涌现强度'''。
=== 有效信息 ===
正式进入实例计算前，在此简要回顾一下有效信息的计算（详细介绍可参考https://mp.weixin.qq.com/s/ADeEMnDZR05Tj7mNoL2jVA）：
正式进入实例计算前，在此简要回顾一下有效信息的计算（详细介绍可参考https://mp.weixin.qq.com/s/ADeEMnDZR05Tj7mNoL2jVA）：
=== 粗粒化映射 ===
=== 粗粒化映射 ===
对于一个给定的马尔科夫链[math]\chi[/math]，它的状态空间为[math]S_m[/math]，其中状态数为[math]N[/math]，动力学，即转移概率矩阵为[math]f_m[/math]。
对于一个给定的马尔科夫链[math]\chi[/math]，它的状态空间为[math]S_m[/math]，其中状态数为[math]N[/math]，动力学，即转移概率矩阵为[math]f_m[/math]。
由于粗粒化的过程带来状态空间减小，所以<math>\Delta{I_{Size}}</math>总是为负；若要CE>0，即因果涌现发生，那么<math>\Delta{I_{Eff}}</math>必须为正值，且粗粒化带来的有效性提升幅度要超过状态空间缩减所导致的EI减小的幅度。
由于粗粒化的过程带来状态空间减小，所以<math>\Delta{I_{Size}}</math>总是为负；若要CE>0，即因果涌现发生，那么<math>\Delta{I_{Eff}}</math>必须为正值，且粗粒化带来的有效性提升幅度要超过状态空间缩减所导致的EI减小的幅度。
==因果涌现实例==
==因果涌现实例==