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马尔科夫链 (查看源代码)

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→‎转移概率矩阵的特征值

第231行：第231行：

====转移概率矩阵的特征值====

−

下面考察<math>P</math>的特征值，由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>~~，那么~~

+

下面考察<math>P</math>的特征值，由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>，那么，<math>P\mathbf{1}=\mathbf{1}</math>，即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为<math>\mathbf{1}</math>。

−

~~<math>P\mathbf{1}=\begin{bmatrix}~~

+

另一方面，由于

−

~~p_{11}& p_{12}&\ldots\\~~

−

~~p_{21}& p_{22}&\ldots\\~~

−

~~\vdots& \vdots&\ddots\\~~

−

~~\end{bmatrix}\begin{bmatrix}~~

−

~~1 \\~~

−

~~1\\~~

−

~~\vdots\\~~

−

~~\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}~~

−

~~\sum_{j\in S}{p_{1j}}\\~~

−

~~\sum_{j\in S}{p_{2j}}\\~~

−

~~\vdots\\~~

−

~~\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}~~

−

~~1 \\~~

−

~~1\\~~

−

~~\vdots\\~~

−

~~\end{bmatrix}=\mathbf{1}.</math>~~

−

~~即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为<math>\mathbf{1}</math>。~~

−

~~另一方面，~~

<math>det(P-\lambda I)=det((P-\lambda I)^{\rm T})=det(P^{\rm T}-\lambda I)</math>。

第272行：第253行： −

进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，对应的特征向量为<math>x=(x_1,x_2,\ldots)^{\rm T}</math>。那么，<math>\lambda</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值，且<math>\lambda x^{\rm T}=x^{\rm T}P^{\rm T}</math>，展开得

+

进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，证明可得 <math>|\lambda|\leq 1</math>。

−

~~<math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ji}x_i</math>。~~

−

~~不失一般性，假设<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，有~~

−

~~<math>|\lambda|\cdot|x_j|=\Big|\sum_i p_{ji}x_i\Big|\leq\sum_{i}p_{ji}|x_i|\leq\sum_{i}p_{ji}|x_j|=|x_j|</math>。~~

−

~~那么，~~<math>|\lambda|\leq 1</math>。

注：上述两条性质对于一般的随机矩阵均成立。

−

====细致平衡条件====

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