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→与基于最大化有效信息的因果涌现定量化的关系
==与基于最大化有效信息的因果涌现定量化的关系==
==与基于最大化有效信息的因果涌现定量化的关系==
离散的概率转移矩阵的近似可逆性和最大化有效信息是密切相关的，可以证明，要想获得最大化有效信息的粗粒化策略也近似等价于是向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel因果涌现理论]]的框架内，给定马尔可夫动力学系统的因果涌现的大小依赖于粗粒化策略的选择，可以通过宏观动力学的EI最大化寻找最优的粗粒化策略。由于对于离散的马尔可夫链来说，粗粒化策略往往都是比较严格的0或1构成的向量，因此并不能简单地根据奇异向量来直接投影，但是如果粗粒化策略尽可能地与最大的几个奇异向量平行，那么就可以让粗粒化后动力学的EI尽可能更大，因此最大化EI的必要条件近似可以认为就是往最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。下面给出较为严格的推导：
对于离散的马尔科夫概率转移矩阵，我们可以使用一个<math>N\times r</math>聚类矩阵<math>\Phi=(\Phi_1^T,\cdots,\Phi_r^T)</math>定义粗粒化策略，其中向量<math>\Phi_i\in R^N</math>表示第i个聚类中包含的元素，例如第j个微观态属于第i个宏观态，则<math>\Phi_{i,j}=1</math>。
对于离散的马尔科夫概率转移矩阵，我们可以使用一个<math>N\times r</math>聚类矩阵<math>\Phi=(\Phi_1^T,\cdots,\Phi_r^T)</math>定义粗粒化策略，其中向量<math>\Phi_i\in R^N</math>表示第i个聚类中包含的元素，当第j个微观态属于第i个宏观态，则<math>\Phi_{i,j}=1</math>，否则为0。
由于每个微观状态对应于唯一的宏观状态，因此所有向量<math>\Phi_i</math>，彼此之间都是相互正交的。因此，粗粒化后的宏观动力学的转移概率矩阵（TPM）可以表示为，
由于每个微观状态对应于唯一的宏观状态，因此所有向量<math>\Phi_i</math>，彼此之间都是相互正交的。因此，粗粒化后的宏观动力学的转移概率矩阵（TPM）可以表示为：
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其中<math>D=diag(1/\sum_{j=1}^N \Phi_{1,j},\cdots,1/\sum_{j=1}^N \Phi_{r,j})</math>是归一化系数，使得<math>P^{'}</math>依然保持概率转移矩阵的性质。这种方法通过将<math>P</math>中不同列的概率相加并对所有维度行进行平均，将微观态压缩为宏观态。不过，这种粗粒化策略得到的表达式不是对称的形式，因此可以采用一种替换方法，令每个聚类向量除以其范数来进行归一化，得到<math>\phi_i=\Phi_i/|\Phi_i|</math>，定义<math>\phi=(\phi_1^T,\cdots,\phi_r^T)</math>，我们能够将粗粒化策略近似转换为对称形式
其中<math>D=diag(1/\sum_{j=1}^N \Phi_{1,j},\cdots,1/\sum_{j=1}^N \Phi_{r,j})</math>是归一化系数，使得<math>P^{'}</math>依然保持概率转移矩阵的性质。这种方法通过将<math>P</math>中不同列的概率相加并对所有行进行平均，将微观态压缩为宏观态。不过，这种粗粒化策略得到的表达式不是对称的形式，因此可以采用一种替换方法，令每个聚类向量除以其范数来进行归一化，得到<math>\phi_i=\Phi_i/|\Phi_i|</math>，定义<math>\phi=(\phi_1^T,\cdots,\phi_r^T)</math>，我们能够将粗粒化策略近似转换为对称形式
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