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'''基于协同信息的因果涌现定义'''：假设系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math>，则二者之间的[[协同信息]] <math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>定义为对该系统因果涌现的量化指标，其中<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果。且若该协同信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。

'''基于协同信息的因果涌现定义'''：假设系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math>，则二者之间的[[协同信息]] <math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>定义为对该系统因果涌现的量化指标，其中<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果。且若该协同信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。

'''编者注：''' 此处原文<ref name=":5" />作者的数学表述有歧义，因果涌现指标<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果，而非PID框架中的特定协同原子。在系统只包含两个微观变量，且k=1的情况下，该定义等价于两源变量系统的协同信息。以三变量系统为例，该定义包含了下图中的粉色区域所有晶格。

'''编者注：''' 此处原文<ref name=":5" />作者的数学表述有歧义，因果涌现指标<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果，而非PID框架中的特定协同原子。在系统只包含两个微观变量，且k=1的情况下，该定义等价于两源变量系统的协同信息。以三变量系统为例，当源变量是当前时刻三个微观变量，目标变量为下一时刻联合变量时，系统的信息分解晶格图如下所示。对于信息分解框架，三变量对自身联合变量的协同信息应当为下图中的<math>\{123\}</math>，但是该定义实际上应当包含下图中的粉色区域所有晶格。

[[文件:截屏2025-05-24 下午7.21.32.png|替代=|无框|255x255像素|编者注：此图中粉色区域对应因果涌现定义的协同总量。]]

[[文件:截屏2025-05-24 下午7.21.32.png|替代=|无框|255x255像素|编者注：此图中粉色区域对应因果涌现定义的协同总量。]]

'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，即<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。以三变量系统为例，该定义包含了下图中的粉色区域所有晶格。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗粒化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。

'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，即<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。以两变量系统为例，令微观变量<math>X_{t}^1, X_{t}^2</math>为变量1和2，宏观变量<math>V_{t}=\{X_{t}^1, X_{t}^2\}</math>为变量3，目标变量为<math>\{X_{t+1}^1, X_{t+1}^2\}</math>，此时三变量关于目标变量的信息分解如下图所示。按照信息分解定义，特有信息应当只表示<math>\{3\}</math>一个节点，但是该定义实际上应当包含下图中的粉色区域所有晶格。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗粒化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。

[[文件:截屏2025-05-24 下午7.17.53.png|无框|263x263像素]]

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