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马尔科夫链的粗粒化 (查看源代码)

2025年6月4日 (三) 16:13的版本

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对马尔科夫链做粗粒化并没有一个统一的定义，目前该题目也没有一个完整的文献综述。在许多文献中，粗粒化coarse-graining，聚类/聚合partitioning/lumping/clustering/aggregation和降维dimension reduction是重叠等价的。

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本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学<math>P</math>是时齐（不随时间变化）的，不讨论连续马尔科夫过程。我们可以定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为n的马尔科夫矩阵。同样的，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。

多数文献中会出现如图1的定义<ref name=":2">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

第40行：第42行： −

本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学（<math>P</math>）不随时间变化的情况，不讨论连续马尔科夫过程。我们可以定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为n的马尔科夫矩阵。同样的，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。

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===~~对状态空间进行粗粒化~~===

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===划分：对状态空间进行粗粒化===

我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。

第54行：第56行： −

===~~对转移概率进行粗粒化~~===

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===聚合：对转移概率进行粗粒化===

得出<math>\Phi</math>后，对微观马尔科夫矩阵<math>P</math>的降维可以表示为

Liangjh

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