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马尔科夫链的粗粒化 (查看源代码)

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另外，我们也能使用梯度下降方法，搭配深度学习方法，比如图神经网络，来寻找最优划分。比如，在Klein等人的论文<ref name=":0"/>，以及Griebenow 等人<ref name=":Griebenow">Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>的文献中，把粗粒化方案写成一个分组矩阵，同时将这个分组矩阵参数化，这样把最终的粗粒化网络表达为分组矩阵与原始网络邻接矩阵的乘积，并由此计算EI。之后，使用自动微分方法执行[[梯度下降算法]]从而优化分组矩阵，以使得EI最大化。

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另外，我们也能使用梯度下降方法，搭配深度学习方法，比如图神经网络，来寻找最优划分。比如，在Klein等人的论文<ref name=":19"/>，以及Griebenow 等人<ref name=":Griebenow">Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>的文献中，把粗粒化方案写成一个分组矩阵，同时将这个分组矩阵参数化，这样把最终的粗粒化网络表达为分组矩阵与原始网络邻接矩阵的乘积，并由此计算EI。之后，使用自动微分方法执行[[梯度下降算法]]从而优化分组矩阵，以使得EI最大化。

'''输入'''：包含[math]N[/math]个节点的原始网络[math]G[/math]，其对应邻接矩阵为：<math>A</math>，粗粒化后的网络所包含的节点数：<math>K</math>；'''输出'''：宏观网络[math]G'[/math]，对应的邻接矩阵为：<math>B</math>，以及对应的从[math]A[/math]到[math]B[/math]的粗粒化矩阵：<math>M</math>

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比如，在社区检测问题中，具有只允许相邻的节点聚合在一起的约束。这要求状态划分必须遵循状态转移图的拓扑结构，同一聚合状态内的节点必须在状态转移图中直接相连或通过短路径可达（如K-邻域）。这种限制确保聚合状态具有空间连贯性，同时大幅减少可行划分数量。

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在因果涌现分组问题<ref name=":0"/>中，要求同属一组的状态需同属一个马尔科夫毯（Markov blanket）。在一个概率图中，一个节点的马尔科夫毯包括其父节点、子节点以及子节点的其他父节点（配偶节点）。这些节点共同作用，使得该节点与图中的其他节点条件独立，起到一个“信息防火墙”、确保组内状态动态仅通过固定接口与外部交互的作用。该约束确保：

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在因果涌现分组问题<ref name=":19"/>中，要求同属一组的状态需同属一个马尔科夫毯（Markov blanket）。在一个概率图中，一个节点的马尔科夫毯包括其父节点、子节点以及子节点的其他父节点（配偶节点）。这些节点共同作用，使得该节点与图中的其他节点条件独立，起到一个“信息防火墙”、确保组内状态动态仅通过固定接口与外部交互的作用。该约束确保：

# '''因果独立性'''：当我们把整个组看作一个宏观状态时，由于组内所有状态的马尔科夫毯相同，意味着这个宏观状态与外部状态的交互（输入和输出）在统计上是一致的；

# '''信息压缩与模式识别'''：具有相同马尔科夫毯的状态在系统中扮演相似的角色（即它们与其他状态之间的依赖关系相同）。将这些状态聚合成一个宏观状态，相当于识别出了系统中的一个功能模块或模式；

Liangjh

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