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→尺度闭合性
====单尺度因果态====
====单尺度因果态====
词条的上一部分已经介绍过了[[计算力学]]中因果态的概念，为了与原文符号对应，我们重新提供因果态的定义。在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。
无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知 <math>t</math> 时刻的状态和历史记忆 <math>\overleftarrow{X_t}=\{... , X_{t-2}, X_{t-1}, X_t\}</math> 时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X}^L_t| \overleftarrow{X_t})</math>，其中<math>\overrightarrow{X}^L_t=\{X_{t+1}, X_{t+2}, ... , X_{t+L}\}</math>，简写成<math>\overrightarrow{X_t}</math>。
无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知 <math>t</math> 时刻的状态和历史记忆 <math>\overleftarrow{X_t}=\{... , X_{t-2}, X_{t-1}, X_t\}</math> 时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X}^L_t| \overleftarrow{X_t})</math>，其中<math>\overrightarrow{X}^L_t=\{X_{t+1}, X_{t+2}, ... , X_{t+L}\}</math>，简写成<math>\overrightarrow{X_t}</math>。
所以，ϵ-机器的工作是根据 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 而判断 <math>t</math> 时刻系统处于哪个因果态 <math>E_t</math> ，并根据该因果态预测未来轨迹 <math>\overrightarrow{X_t}</math> 。
所以，ϵ-机器的工作是根据 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 而判断 <math>t</math> 时刻系统处于哪个因果态 <math>E_t</math> ，并根据该因果态预测未来轨迹 <math>\overrightarrow{X_t}</math> 。
[[计算力学]]认为，包括人类在内的智能体，每时每刻都在对周围环境观察，得到大量的观测数据，并在自己的内部（大脑中）构建简洁的机制来预测观测数据的变化，而因果态和ϵ-机器因其简洁性和有效性，被认为是一种最理想的预测机制模型。
我们可以从最小解释模型的角度出发来理解因果态。最小解释模型是指，我们要如何去用最简洁的宏观状态来解释和描述系统发生的现象，而且这种解释模型要在微观层面扰动时保持‘稳定’。所以它追求的是两方面：首先需要稳定，其次尺度越高越好。而这个宏观状态就是因果态。
我们可以从最小解释模型的角度出发来理解因果态。最小解释模型是指，我们要如何去用最简洁的宏观状态来解释和描述系统发生的现象，而且这种解释模型要在微观层面扰动时保持‘稳定’。所以它追求的是两方面：首先需要稳定，其次尺度越高越好。而这个宏观状态就是因果态。
也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(\overrightarrow{z_t}| \overleftarrow{x_t})</math> 的 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 和 <math>\overleftarrow{x_{t'}}</math> 定义为υ-机器的因果态，<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} },\ U_t = υ( \overleftarrow{X_t} ) </math>
也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(\overrightarrow{z_t}| \overleftarrow{x_t})</math> 的 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 和 <math>\overleftarrow{x_{t'}}</math> 定义为υ-机器的因果态，<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} },\ U_t = υ( \overleftarrow{X_t} ) </math>
它的意义是什么呢？作者给出的解释是，υ-机器的因果态是一个最优的信息瓶颈：υ-机器是一种对 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 粒度最粗的并满足对 <math>\overrightarrow{z_t}</math>的最大预测性的粗粒化方案。
它的意义是什么呢？作者给出的解释是，υ-机器的因果态是一个最优的信息瓶颈：υ-机器是一种对 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 最粗的粗粒化粒度，并满足对 <math>\overrightarrow{z_t}</math>的最大预测性的粗粒化方案。
所以，我们现在有三种机器：
所以，我们现在有三种机器：
# 微观与宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器，因果态为 <math>U</math>；
# 微观与宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器，因果态为 <math>U</math>；
这三种机器的因果态有什么区别呢？首先，<math>U_t</math> 要比 <math>E'_t</math> 更强，因为后者只包括了宏观的信息，而前者同时包括了宏观和微观的信息。其次，<math>E_t</math> 要比 <math>U_t</math> 更强，因为 <math>U_t</math> 只保留了宏观的最大预测性，而 <math>E_t</math> 能保留微观的最大预测性（同时因为我们知道 <math>f</math> ，所以 <math>E_t</math> 也能保留宏观最大预测性）。
这三种机器的因果态有什么区别呢？首先，<math>U_t</math> 要比 <math>E'_t</math> 更强（powerful），因为后者只包括了宏观的信息，而前者同时包括了宏观和微观的信息。其次，<math>E_t</math> 要比 <math>U_t</math> 更强，因为 <math>U_t</math> 只保留了宏观的最大预测性，而 <math>E_t</math> 能保留微观的最大预测性（同时因为我们知道 <math>f</math> ，所以 <math>E_t</math> 也能保留宏观的最大预测性）。
我们能够了解一些关于它们的推断。
我们能够了解一些关于它们的推断。