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=== 实空间中的拉普拉斯重整化群 ===
=== 实空间中的拉普拉斯重整化群 ===
基于物理诠释，可利用 <math>K^{(0)}(\tau)</math>将原始网络( <math>\ell = 0</math>)的 <math>N_0</math>个节点在任意时刻 <math>\tau</math>下划分为 <math>N_1</math>个“扩散等效”的子图，继而粗粒化为超节点以定义下一层级( <math>\ell = 1</math>)网络。通过对微观小尺度连边关系的剪裁来确定超节点间重整化后的边(如公式(1)(3))。对于规则格点，固定 <math>\tau</math>就等价于固定空间尺度 <math>l</math>，此过程完全可以类比于Ising模型中的Kadanoff块自旋方法[118]。
网络的拉普拉斯粗粒化方法可概括如下。首先定义二值化拉普拉斯矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau)</math>，其元素为：
<math>
<math>\zeta_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) = \begin{cases} 1, & \text{若 } K_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) \geq \min\left[K_{i_0i_0}^{(0)}(\tau), K_{j_0j_0}^{(0)}(\tau)\right];\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} \tag{8}</math>
\zeta_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) =
需注意 <math>\zeta^{(0)}(\tau = 0)</math>是 <math>N_0 \times N_0</math>的单位矩阵，且对所有 <math>i_0, j_0</math>有 <math>\zeta_{i_0 j_0}^{(0)}(\tau \to \infty) = 1</math>。对固定的 <math>\tau^* > 0</math>，矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau^*)</math>可视为原网络的超图的邻接矩阵，其包含 <math>N_1</math>个在尺度 <math>\tau^*</math>上通过扩散连接的连通分支。此过程将原来的 <math>N_0</math>个节点划分为 <math>N_1 < N_0</math>个超节点（图2a）。 <math>\tau^*</math>越大，连通分支数量越少且每个连通分支的规模越大。 <math>\tau^* \to \infty</math>意味着仅存在单一分支，也就是说，因均匀扩散场最终所有网络节点均连接在一起。基于方程(3)的粗粒化加权邻接矩阵 <math>W^{(1)}</math>可通过定义超节点间的加权超边来构造，其权重等于连接两对应细尺度簇的微边权重经适当归一化后的总和（图2b）。亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵 <math>A^{(1)}</math>（例如通过方程(1)）。整个过程可迭代执行以定义更高层级 <math>\ell > 1</math>（图2c,d）。
\begin{cases}
1, & \text{若 } K_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) \geq \min\left[K_{i_0i_0}^{(0)}(\tau), K_{j_0j_0}^{(0)}(\tau)\right]; \\
0, & \text{其他情况}.
图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造。 a. 底层 ( <math>\ell = 0</math>) 表示原始网络 <math>\mathcal{A}^{(0)}</math>（此处为 Barabási-Albert 网络，通过每次添加一个带 <math>m = 1</math> 条连接的节点演化而成，最终规模为 <math>N_0 = 24</math> 个节点），上层展示扩散时间尺度 <math>\tau^* = 1.96</math> 对应的划分 <math>\Omega_0</math>。不同颜色标识 <math>N_1</math> 个 Kadanoff 超节点。 b. 基于 <math>\Omega_0</math>，每个块被聚合为单个超节点 <math>i</math>（ <math>i = 1, \cdots, N_1</math>），保留与原节点连接的边，从而在下一层级 <math>\ell = 1</math> 构建粗粒化网络 <math>\mathcal{A}^{(1)}</math>。 c. 实空间拉普拉斯重整化群（LRG）过程的三个步骤。 d. 随机树的 LRG 粗粒化。图转载自文献[108]，遵循 CCBY 4.0 协议。
\end{cases}
</math>
需注意$$\zeta^{(0)}(\tau=0)$$为单位矩阵，$$\tau\to\infty$$时所有元素为1。对固定$$\tau^*>0$$，矩阵$$\zeta^{(0)}(\tau^*)$$视为原网络超图的邻接矩阵，包含$$N_1$$个在尺度$$\tau^*$$上通过扩散连接的连通分支，将$$N_0$$个节点划分为$$N_1<N_0$$个超节点。$$\tau^*$$越大，连通分支数量越少且规模越大，$$\tau^*\to\infty$$时仅存单一分支。基于粗粒化加权邻接矩阵$$W^{(1)}$$可通过定义超节点间加权超边构造，权重等于连接对应细尺度簇的微边权重归一化总和，亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵$$A^{(1)}$$，整个过程可迭代执行定义更高层级。
=== k-空间上的拉普拉斯重整化群 ===
=== k-空间上的拉普拉斯重整化群 ===