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→多尺度网络的重整化
该要求意味着多尺度重整化方法对粗粒化变量定义完全不可知，可任意“平铺”节点集，引入任何所需划分$$\Omega_0$$，不依赖度量或扩散邻近性概念。平均掉细微细节的过程允许不同选择，但考虑到构成节点间的连接对定义超节点间联系的重要性，选择特定方案[137]。多尺度方法的独特之处在于识别重整化群流不动点，在该点可对任意节点聚合方式进行耦合系数和参数值的精确重整化。
该要求意味着多尺度重整化方法对粗粒化变量定义完全不可知，可任意“平铺”节点集，引入任何所需划分$$\Omega_0$$，不依赖度量或扩散邻近性概念。平均掉细微细节的过程允许不同选择，但考虑到构成节点间的连接对定义超节点间联系的重要性，选择特定方案[137]。多尺度方法的独特之处在于识别重整化群流不动点，在该点可对任意节点聚合方式进行耦合系数和参数值的精确重整化。
=== 节点聚合下的不变性 ===
所求的聚合不变随机图概念类似于稳定随机变量[140-142]，即组合后仍服从相同分布的随机变量。考虑以概率$$P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)$$生成具体实现$$A^{(\ell)}$$的随机图系综，其中$$\Theta_\ell$$是模型参数集合。给定概率分布和任意划分$$\Omega_\ell$$，可在高一层级$$\ell+1$$导出结果图系综由特定概率分布描述，多尺度重整化方法的核心思想是识别在所有层次和所有可能划分下保持不变的图概率分布函数形式，仅允许（重整化）参数$$\Theta_{\ell+1}$$依赖层级$$\ell+1$$，通常通过$$\Omega_\ell$$与$$\Theta_\ell$$关联，该条件对应通过在图概率空间中识别重整化群流不动点实现参数的精确重整化。
所求的聚合不变随机图概念类似于稳定随机变量[140-142]，即组合后仍服从相同分布的随机变量。考虑以概率$$P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)$$生成具体实现$$A^{(\ell)}$$的随机图系综，其中$$\Theta_\ell$$是模型参数集合。给定概率分布和任意划分$$\Omega_\ell$$，可在高一层级$$\ell+1$$导出结果图系综由特定概率分布描述，多尺度重整化方法的核心思想是识别在所有层次和所有可能划分下保持不变的图概率分布函数形式，仅允许（重整化）参数$$\Theta_{\ell+1}$$依赖层级$$\ell+1$$，通常通过$$\Omega_\ell$$与$$\Theta_\ell$$关联，该条件对应通过在图概率空间中识别重整化群流不动点实现参数的精确重整化。
=== 带独立边的多尺度模型 ===
对于带独立边的图模型，可找到显式不动点$$P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)$$，概率分布分解为节点对$$i_\ell j_\ell$$的连接概率$$p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)$$：
对于带独立边的图模型，可找到显式不动点$$P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)$$，概率分布分解为节点对$$i_\ell j_\ell$$的连接概率$$p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)$$：
其中参数$$\Theta_{ij}$$分解为全局参数$$\delta>0$$调节网络整体连接密度，$$N_\ell$$个正定节点特异性参数$$\{x_{i_\ell}\}$$（适应度值）决定节点建立连接的个体倾向，以及$$N_\ell^2$$个二元参数$$\{d_{i_\ell j_\ell}\}$$表示节点对效应，函数$$f$$是任意单调正值函数。
其中参数$$\Theta_{ij}$$分解为全局参数$$\delta>0$$调节网络整体连接密度，$$N_\ell$$个正定节点特异性参数$$\{x_{i_\ell}\}$$（适应度值）决定节点建立连接的个体倾向，以及$$N_\ell^2$$个二元参数$$\{d_{i_\ell j_\ell}\}$$表示节点对效应，函数$$f$$是任意单调正值函数。
=== 参数重整化与聚合不变性 ===
使用划分$$\Omega_\ell$$将网络粗粒化至$$\ell+1$$层级时，构型$$A^{(\ell+1)}$$的概率仍由上述方程描述，其中$$\ell$$替换为$$\ell+1$$且参数重整化为：
使用划分$$\Omega_\ell$$将网络粗粒化至$$\ell+1$$层级时，构型$$A^{(\ell+1)}$$的概率仍由上述方程描述，其中$$\ell$$替换为$$\ell+1$$且参数重整化为：
值得注意的是，对应配分函数$$Z(\delta)$$可精确计算，证明在任意计算层级取值相同[137]，证实多尺度模型位于重整化流的不动点上。与几何或拉普拉斯方法不同，多尺度模型既不需要节点坐标的度量空间嵌入，也不需要扩散邻近性概念，允许任意划分，聚合不变性较邻近驱动的尺度不变性更显著。
值得注意的是，对应配分函数$$Z(\delta)$$可精确计算，证明在任意计算层级取值相同[137]，证实多尺度模型位于重整化流的不动点上。与几何或拉普拉斯方法不同，多尺度模型既不需要节点坐标的度量空间嵌入，也不需要扩散邻近性概念，允许任意划分，聚合不变性较邻近驱动的尺度不变性更显著。
=== 真实世界网络重整化的淬火变体 ===
在多尺度模型的“淬火”变体中，节点适应度解释为确定性属性，如观测量或潜在节点特征[137,139,150,151]，可用于基于经验量（如适应度模型族[152]）或潜在变量（如节点嵌入算法族[153]）对真实世界网络建模。然而，这些算法族的通用模型在固定分辨率层级构建，而多尺度模型要求通过重整化参数在所有聚合层级一致描述同一系统，是唯一在聚合后保持适应度模型特征的适应度可加性模型[137,150]，也是在任意粗粒化下生成一致节点嵌入的方法[151]。
在多尺度模型的“淬火”变体中，节点适应度解释为确定性属性，如观测量或潜在节点特征[137,139,150,151]，可用于基于经验量（如适应度模型族[152]）或潜在变量（如节点嵌入算法族[153]）对真实世界网络建模。然而，这些算法族的通用模型在固定分辨率层级构建，而多尺度模型要求通过重整化参数在所有聚合层级一致描述同一系统，是唯一在聚合后保持适应度模型特征的适应度可加性模型[137,150]，也是在任意粗粒化下生成一致节点嵌入的方法[151]。
该模型在多个层级成功复现国际贸易网络[137,139]、企业间网络[150]和投入产出网络[151]的特性，当二元和/或适应度量从数据输入时，仅剩全局参数作为自由参数，可在特定分辨率层级拟合，提供所有其他层级的预测，多尺度预测与多层级经验网络特性高度吻合[137,139,150]。
该模型在多个层级成功复现国际贸易网络[137,139]、企业间网络[150]和投入产出网络[151]的特性，当二元和/或适应度量从数据输入时，仅剩全局参数作为自由参数，可在特定分辨率层级拟合，提供所有其他层级的预测，多尺度预测与多层级经验网络特性高度吻合[137,139,150]。
=== 集群无标度网络与细粒度化的退火变体 ===
在退火变体[137,138]中，节点适应度视为随机变量，类似于非均匀随机图家族[154]，作为“隐”变量不与特定真实世界特征关联，聚合不变性要求也适用于适应度，任何层次$$\ell$$的节点适应度应从相同概率密度函数抽取，适应度的加性表明其为$$\alpha$$-稳定随机变量[141]，密度函数在大$$x$$时衰减为$$x^{-1-\alpha}$$，为确保适应度正性，指数$$\alpha \in (0,1)$$，导致适应度均值及更高阶矩发散，此范围内唯一已知$$\alpha$$-稳定分布为Lévy分布（$$\alpha=1/2$$），但对任意$$\alpha$$值可推导严格结果，且基本与$$\alpha$$无关[138]。
在退火变体[137,138]中，节点适应度视为随机变量，类似于非均匀随机图家族[154]，作为“隐”变量不与特定真实世界特征关联，聚合不变性要求也适用于适应度，任何层次$$\ell$$的节点适应度应从相同概率密度函数抽取，适应度的加性表明其为$$\alpha$$-稳定随机变量[141]，密度函数在大$$x$$时衰减为$$x^{-1-\alpha}$$，为确保适应度正性，指数$$\alpha \in (0,1)$$，导致适应度均值及更高阶矩发散，此范围内唯一已知$$\alpha$$-稳定分布为Lévy分布（$$\alpha=1/2$$），但对任意$$\alpha$$值可推导严格结果，且基本与$$\alpha$$无关[138]。