更改

=历史=

=历史=

历史上，对{{EquationNote|(1)}}式的研究展开深入研究的科学家是[[Robert May]]，并且该迭代方程以其极其简单的形式，同时能够展现出丰富复杂的非线性行为而成为示例[[混沌]]现象的代表模型。然而，事实上，早在[[混沌]]（Chaos）一词被提出之前，包括[[乌拉姆]]（Stain Ulam）和[[冯诺伊曼]]（John von Neumann）在内的多位科学家就已经展开了对{{EquationNote|(1)}}式的研究。

历史上，对({{EquationNote|1}})式的研究展开深入研究的科学家是[[Robert May]]，并且该迭代方程以其极其简单的形式，同时能够展现出丰富复杂的非线性行为而成为示例[[混沌]]现象的代表模型。然而，事实上，早在[[混沌]]（Chaos）一词被提出之前，包括[[乌拉姆]]（Stain Ulam）和[[冯诺伊曼]]（John von Neumann）在内的多位科学家就已经展开了对({{EquationNote|1}})式的研究。

==Logistic生长方程==

==Logistic生长方程==

f(x)=4x(1−x)

f(x)=4x(1−x)

</math>

</math>

他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是{{EquationNote|(1)}}式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。

他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是({{EquationNote|1}})式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。

自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]\lambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为。

自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]\lambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为。