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→特征函数与特征值
</math>
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这意味着子空间 <math>\mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math> 在Koopman算子 <math>\mathcal{K}</math> 的作用下是不变的。因此我们可以分析一般观测量分解到特征函数下的时间演化。这些理论为Koopman模式分解和动力学模式分解（DMD）方法奠定了基础。
这意味着子空间 <math>\mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math> 在Koopman算子 <math>\mathcal{K}</math> 的作用下是不变的。因此我们可以分析一般观测量分解到特征函数下的时间演化。这种分析为数据驱动算法中的动力学模式分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）方法奠定了基础。到目前为止，我们只给定了单一的观测函数，接下来我们写出多个观测函数下Koopman模式分解的表达式。我们将这些观测整理成一个向量<math>\mathbf{g}</math>：
<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} . </math>
每一个单独的测量都可以用特征函数<math>\varphi_j(\mathbf{x})</math>的基展开表示：
<math> g_i(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^\infty v_{ij} \varphi_j(\mathbf{x}) . </math>
==一般的观测函数下如何得到特征函数？==
==一般的观测函数下如何得到特征函数？==