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→傅立叶平均
<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g\left(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})\right) e^{-i\omega t} \,dt. </math>
<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g\left(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})\right) e^{-i\omega t} \,dt. </math>
可以根据特征函数的定义{{EquationNote|1}}证明<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>是特征函数，<math>e^{i\omega}</math>是特征值。
可以根据特征函数的定义{{EquationNote|1}}证明<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>是特征函数，<math>e^{i\omega}</math>是特征值。特别地，当<math> \omega=0</math>时，<math> \tilde{g}_0(\mathbf{x})</math>是特征值为1所对应的特征函数。证明如下：
<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{x}) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) e^{-i\omega t} dt </math>
由于 <math> (\mathcal{K}^t g)(\mathbf{x}) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) </math>，我们有：
<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^t(\mathbf{F}^s(\mathbf{x}))) e^{-i\omega t} dt \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^{t+s}(\mathbf{x})) e^{-i\omega t} dt \\ \end{aligned} </math>
令 <math> \tau = t + s \Rightarrow t = \tau - s </math>，则：
<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>
其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：
<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>
即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是特征值为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman特征函数。
===数据回归===
===数据回归===