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→有限时间奇点
====有限时间奇点====
====有限时间奇点====
真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N>[/math]的时候，城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：[math]t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}[/math]
真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N > N^*[/math]的时候（其中 [math]N^*[/math] 是方程(12)的稳态解），城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：[math]t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}[/math]
然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N<[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。
然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N<[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。
为了避免系统性崩溃，城市必须进行"重大质变"，也就是通过创新来重置系统参数。重置过程包括两个方面：
为了避免系统性崩溃，城市必须进行"重大质变"，也就是通过创新来重置系统参数。重置过程包括两个方面：
1. 重置初始条件：调整初始人口规模 $N_0$
1. 重置初始条件：调整初始人口规模 [math]N_0[/math]
2. 重置方程系数：这是更重要的环节，需要重置系数：
2. 重置方程系数：这是更重要的环节，需要重置系数：
* [math]y_0[/math]：归一化常数，代表城市的单人产出
* [math]r[/math]：规模法则幂律指数相关参数
* [math]e[/math]：维持每个个体平均所需的资源量
人们通过社会治理、创新等机制重置这些系数，使得条件 [math]N > N^*[/math] 重新得到满足，从而开启新一轮的超线性增长周期。历史上，人类社会发生重大技术跃迁时，正是对应这种重置机制。
人们通过社会治理、创新等机制重置这些系数，使得条件 [math]N > N^*[/math] 重新得到满足，从而开启新一轮的超线性增长周期。历史上，人类社会发生重大技术跃迁时，正是对应这种重置机制。