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→动力学模式分解（DMD）
·直观理解：<math>X'</math>中的每一列都是<math>X</math>中对应列在下一个时间点的状态。
·直观理解：<math>X'</math>中的每一列都是<math>X</math>中对应列在下一个时间点的状态。
2.寻找一个近似线性算子A
2.寻找一个近似线性算子A，并求解A（使用奇异值分解，SVD）
我们假设存在一个线性算子A，使得 <math>x_{k+1} ≈ A * x_k</math>。换句话说，A能够近似地描述系统一步的演化。
我们假设存在一个线性算子A，使得 <math>x_{k+1} ≈ A * x_k</math>。换句话说，A能够近似地描述系统一步的演化。
那么，整个矩阵关系可以写为： <math>X’ ≈ A X</math>
那么，整个矩阵关系可以写为： <math>X’ ≈ A X</math>
直接求A很困难（因为数据维度可能很高）。
直接求A很困难（因为数据维度可能很高）。
SVD 可以帮我们降维，只保留前 r个重要的模式（即低秩近似）。
SVD 可以帮我们降维，只保留前 r个重要的模式（即低秩近似）。
3.在降维空间计算 Ã，并计算 Ã 的特征值和特征向量
庞大的A矩阵可以被投影到降维后的空间（由 U 的列张成）上，得到一个简化的小矩阵 Ã。
庞大的A矩阵可以被投影到降维后的空间（由 U 的列张成）上，得到一个简化的小矩阵 Ã。
à 可以看作是 A 在主要模式上的一个“精华版”。
à 可以看作是 A 在主要模式上的一个“精华版”。
求解 Ã 的特征分解： Ã W = W Λ
求解 Ã 的特征分解： Ã W = W Λ
W的列是对应的特征向量。
W的列是对应的特征向量。
4.重建 DMD 模式（Spatial Modes）
Ã的特征向量W是在降维空间里的。我们需要把它们映射回原始空间，得到真正的空间模式 <math>Φ</math>。
Ã的特征向量W是在降维空间里的。我们需要把它们映射回原始空间，得到真正的空间模式 <math>Φ</math>。
<math>Φ</math>的每一列就是一个 DMD 模式。它代表了数据中一种特定的空间结构。
<math>Φ</math>的每一列就是一个 DMD 模式。它代表了数据中一种特定的空间结构。
5.预测与重构
任何一个时间点的状态都可以用这些 DMD 模式的线性组合来近似表示：
任何一个时间点的状态都可以用这些 DMD 模式的线性组合来近似表示：