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=Koopman算子应用的简单案例=

=Koopman算子应用的简单案例=

这里，我们引用Brunton等人<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>详细研究过的一个具有单个不动点的示例系统，其方程为：

通过一个简单案例，我们可以体会以观测函数将一个系统线性化处理的好处：通过分析观测空间中线性系统的性质，我们可以描述原系统会有怎样的动力学行为。这里，我们引用Brunton等人<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>详细研究过的一个具有单个不动点的示例系统，其方程为：

<math> \dot{x}_1 = μx_1 </math>

<math> \dot{x}_1 = μx_1 </math>

<math> \dot{x}_2 = λ(x_2 - x_1^2） </math>

<math> \dot{x}_2 = λ(x_2 - x_1^2） </math>

 

其中μ=-0.05，λ=-1。观测函数选取上，首先可以直接观测<math> y_1=x_1,y_2=x_2 </math>。然后，我们可以引入一个非线性测量 <math> y_3 = x_1^2 </math>， 从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，动态系统变成了线性系统：

当 λ<μ<0时，系统会表现出一个缓慢的吸引流形，方程为 <math> x_2 = x_1^2 </math>。我们可以通过引入一个非线性测量 <math> y_3 = x_1^2 </math> 来扩充状态<math> x </math>，从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，动态系统变成了线性系统：

<math>

<math>

\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & -λ \\ 0 & 0 & 2μ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}  

\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & -λ \\ 0 & 0 & 2μ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}  

</math> ，  其中<math> \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1^2  \end{bmatrix} </math>

</math>  

 

其中<math> (y_1, y_2, y_3) = (x_1, x_2, x_1^2)</math>。如下图所示，我们可以画出在这个三维空间中系统动力学的[[流形]]，也就是动力学曲线会在哪些平面上运动。首先，由于观测量本身的定义，我们有约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math>，在图中由蓝色曲面表示。在空间中有三条黑色轨迹，代表动力系统从三个不同起点出发的轨迹，它们始终都会在蓝色曲面上运动。因为<math>λ\ll μ<0</math>，所以<math> y_2 </math>的收敛速度会远快于<math> y_1 </math>，于是有一个吸引流形<math> y_2=y_1^2 </math>，这在图中表示为红色的曲面（与<math> y_3 </math>平行，在下方平面上的投影是二次函数曲线）。红色曲面与蓝色曲面相交的曲线（亮蓝色曲线）便位于<math> y_2=y_3 </math>这个曲面上。绿色曲面则是接近<math> y_2=y_3 </math>曲面的慢流形，因为它是由μ和2μ两个绝对值很小的特征值对应的特征向量张成的子空间。它与蓝色曲线交于[[稳定不动点]]（0，0）。当轨迹从起点出发，会因为红色吸引流形的作用快速靠近红色与蓝色曲面的交界处。达到交界处后，由于绿色曲面的吸引作用，再缓慢地靠近最终的稳定不动点（0，0）。下图还展示了动力学在 <math>y_1-y_2</math> 平面上的投影。

 

 

（慢是由于μ = -0.05，“吸引”是由于λ = -1时，<math> \dot{x}_2 = λ(x_2 - x_1^2） </math>）趋势是 <math> x_2 = x_1^2 </math>）。

 

·蓝色表示约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math> 。

 

 

此处参数为 μ = -0.05，λ = -1。

[[文件:Exampleph.png|410x410px|替代=]]

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<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math>  和  <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>， 其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math>  

<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math>  和  <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>， 其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math>