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==伪特征值的出现==

==伪特征值的出现==

然而，如果选取的观测函数并不张成Koopman不变子空间，那么投影算子将会产生与真实Koopman算子不同的伪特征值和伪特征向量。例如，设有一个平凡的对角线线性系统，其特征值<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，特征向量<math>\xi_j</math>为坐标方向<math>x_j</math>，以及一个对前两个特征向量进行混合的简单测量：

然而，如果选取的观测函数并不张成Koopman不变子空间，那么投影算子将会产生与真实Koopman算子不同的伪特征值和伪特征向量。例如，设有一个平凡的对角线线性系统，其特征值<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，特征向量<math>\xi_j</math>为坐标方向<math>x_j</math>，以及一个对前两个特征向量进行混合的简单观测：

<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{且} \quad y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} . </math>

<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y = x_1 + x_2. </math>

在这种情况下，DMD会预测出一个伪特征值3，这实际上是前两个特征值<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个特征向量之和。因此，在实际应用中选取观测函数时，采取一些手段避免过拟合是非常重要的。除了观测函数选取不当，在数据驱动算法中，如果数据量没有足够多，或者数据采样相比于原本的连续动力学过于离散化，也会造成伪特征值出现的问题。具体分析见下文“残差DMD”章节。

在这种情况下，数据驱动算法会预测出一个伪特征值3，这实际上是前两个特征值<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个特征向量之和。因此，在实际应用中选取观测函数时，采取一些手段避免过拟合是非常重要的。除了观测函数选取不当，在数据驱动算法中，如果数据量没有足够多，或者数据采样相比于原本的连续动力学过于离散化，也会造成伪特征值出现的问题。具体分析见下文“残差DMD”章节。

=Koopman算子应用的简单案例=

=Koopman算子应用的简单案例=