更改

4. 最后，对这个方程进行重新整理，解出人口增长率 [math]\frac{dN}{dt}[/math]，从而得到最终的城市生长方程：[math]\frac{dN(t)}{dt} = \frac{Y_{0}N(t)^{\beta} - RN(t)}{E} = (\frac{Y_{0}}{E})N(t)^{\beta} - (\frac{R}{E})N(t)[/math]，即({{EquationNote|12}})式

4. 最后，对这个方程进行重新整理，解出人口增长率 [math]\frac{dN}{dt}[/math]，从而得到最终的城市生长方程：[math]\frac{dN(t)}{dt} = \frac{Y_{0}N(t)^{\beta} - RN(t)}{E} = (\frac{Y_{0}}{E})N(t)^{\beta} - (\frac{R}{E})N(t)[/math]，即({{EquationNote|12}})式

该生长方程的解析解为：

该生长方程的解析解为：

这个生长方程的解的缩放指数 [math]\beta > 1[/math]，因此会导致城市人口的增长是无限制的，并将在一个有限的时间内达到“奇点”（Singularity），即城市规模的增长速度比指数增长还要快。这反映了城市独特的自催化（autocatalytic）性质，即城市规模的扩大能通过创新和社交互动等过程进一步加速自身的增长。

这个生长方程的解的缩放指数 [math]\beta > 1[/math]，因此会导致城市人口的增长是无限制的，并将在一个有限的时间内达到“奇点”（Singularity），即城市规模的增长速度比指数增长还要快。这反映了城市独特的自催化（autocatalytic）性质，即城市规模的扩大能通过创新和社交互动等过程进一步加速自身的增长。

其次，该方程可以根据[math]N(0)[/math]的取值，而分成两种情况：

其次，该方程可以根据[math]N(0)[/math]的取值，而分成两种情况：

* 当[math]N(0)<N^*=...[/math]时：

1. 当[math]N(0)<N^*=...[/math]时：

当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse），此时的生长曲线呈现如下形式：

当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse），此时的生长曲线呈现如下形式：

这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性。

这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性。

* 当[math]N(0)>N^*=...[/math]时

2. 当[math]N(0)>N^*=...[/math]时

 

=== 城市与生物的区别 ===

=== 城市与生物的区别 ===