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→RC电路分析
逻辑斯谛方程广泛用于生态学（种群增长）、生物学（细胞分裂、肿瘤增长）、传染病建模、社会科学（技术扩散）以及工程系统中的反馈动力学。其 S 型曲线也用于统计建模，如逻辑斯谛回归<ref name="Murray2002" />。
逻辑斯谛方程广泛用于生态学（种群增长）、生物学（细胞分裂、肿瘤增长）、传染病建模、社会科学（技术扩散）以及工程系统中的反馈动力学。其 S 型曲线也用于统计建模，如逻辑斯谛回归<ref name="Murray2002" />。
===RC电路分析===
===RC电路分析===
====模型定义====
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|thumb|right|串联RC电路，引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|thumb|right|串联RC电路，引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
考虑右图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。根据基尔霍夫定律，可得下面的方程
<math>
\left\{
\begin{align}
\\[-1em]
V_{\text{in}} &= V_{R} + V_{C}\\
V_{\text{out}} &= V_{C} = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} I(t) \, \mathrm d{t}
\end{align}
\right.
</math>
即
<math>
V_{\text{in}} = RI + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t}. \tag{RC-1}
</math>
当 $V_{\text{in}}$ 为恒定电压 $V_{0}$ 时，考虑电容 $C$ 上的充电量 $Q$。有
<math>
V_{0} = RI + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t} \iff V_{0} = R \dot{Q} + \frac{Q}{C} \tag{RC-2}
</math>
====模型的解====
该方程的通解为
<math>
Q(t) = V_{0}C + Ke^{-t/RC}
</math>
如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 $Q(0) = 0$，则有 $K = -V_{0}C$，即
<math>
Q(t) = V_{0}C(1 - e^{-t/RC})
</math>
相应地，也能得到电容器的稳态电压 $V_{C}(\infty)$ 为 $V_{0}C$，输出电压随时间变化规律为
<math>
V_{C}(t) = \frac{Q}{C} = V_{0}(1 - e^{-t/RC}).
</math>
其中 $\tau = RC$ 称为时间常数，它决定电容器充电的快慢。
====势函数的定性视角====
可以将 (RC-1) 写成势函数的形式：
<math>
f(Q) = \dot{Q} = \frac{V_{0}}{R} - \frac{Q}{RC} = -\frac{1}{RC} \cdot Q + \frac{V_{0}}{R}
</math>
可见其势函数是一个截距为正，斜率为负的直线，有一个稳定不动点 $Q = V_{0}C$。另外，从势函数也可明显的看出上面的结论：当电容初始电量为零时，依照势函数，其电量会一直增长，无限趋于稳定不动点。
====传递函数的视角====
将 (RC-2) 两边做拉普拉斯变换，得到
<math>
\tilde{V}_{\text{in}}(s) = R \tilde{I}(s) + \frac{1}{Cs} \tilde{I}(s) = R \tilde{I}(s) + \tilde{V}_{C}(s)
</math>
整理得到 $\tilde{V}_{C} = (RCs + 1)\tilde{V}_{\text{out}}(s)$，系统的传递函数为
<math>
G(s) = \frac{\tilde{V}_{\text{out}}(s)}{\tilde{V}_{C}(s)} = \frac{1}{RCs + 1},
</math>
这是一个典型的一阶惯性环节，电容开始无电量，电压恒定的情况相当于系统的阶跃响应，而一阶惯性系统的阶跃响应总是稳定、无震荡的。其响应值达到稳态值的约 $63.2\%$ 所需时间为时间常数 $\tau$。由控制论的工具出发，还可以分析 RC 电路在不同输入电压（如脉冲、交流电）下的不同响应（输出电压）。
====频率特性====
现在考虑输入为单相交流电的情形。假设输入电压随时间变化为 $V_{\text{in}}(t) = \sin(\omega t)$，其对应的拉普拉斯变换为 $\displaystyle \tilde{V}_{\text{in}}(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$，由系统的传递函数，可得输出电压的拉普拉斯变换为
<math>
\tilde{V}_{\text{out}}(s) = \tilde{V}_{\text{in}}(s) G(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \cdot \frac{1}{\tau s+ 1}
</math>
做拉普拉斯反变换，得到
<math>
V_{\text{out}}(t) = \frac{\tau \omega}{1 + \tau^{2}\omega^{2}}e^{-t/\tau} + \frac{1}{\sqrt{ (\omega \tau)^{2} + 1 }} \sin(\omega t - \arctan(\omega \tau))
</math>
称 $a(\omega) = \displaystyle \frac{1}{(\omega \tau)^{2}+1}$ 为系统的幅频特性，$\phi(\omega) = -\arctan(\omega \tau)$ 为其相频特性。可以看到当交流电频率增加时，输出电压的幅度降低：这是一个简单的低通滤波器。
===企业生长模型===
===企业生长模型===