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==粗粒化与时间演化算子的可交换性<ref name=":2" />==

==粗粒化与时间演化算子的可交换性<ref name=":2" />==

首先，一个重要的粗粒化标准就是粗粒化操作要和时间演化操作是可交换（commutative）的两个算符。也就是说，以图（1）所示的情形为展示，我们从某个微观状态 <math>s^{(t)}</math> 出发，到达下一刻的宏观状态 <math>A^{(t+1)}</math> 具备两条不同的路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

首先，一个重要的粗粒化标准就是 '''粗粒化操作要和时间演化操作是可交换（commutative）的两个算符'''。以图（1）所示的情形为展示，我们从某个微观状态 <math>s^{(t)}</math> 出发，到达下一刻的宏观状态 <math>A^{(t+1)}</math> 具备两条不同的路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

# 先经过微观动力学的时间演化达到 <math>s^{(t+1)}</math>，再进行粗粒化得到 <math>A^{(t+1)}</math>

# 先经过微观动力学的时间演化达到 <math>s^{(t+1)}</math>，再进行粗粒化得到 <math>A^{(t+1)}</math>

# 先通过状态的粗粒化得到 <math>A^{(t)}</math>，再经过宏观动力学的演化到达 <math>A^{(t+1)}</math>

# 先通过状态的粗粒化得到 <math>A^{(t)}</math>，再经过宏观动力学的演化到达 <math>A^{(t+1)}</math>

如果我们把粗粒化和（宏观/微观）动力学看作是两个算子，那这两个算子的可交换性指的是：无论从哪个微观状态分布出发，走这两条路径得到的 <math>A^{(t+1)}</math> 的分布是一样的，即

如果我们把粗粒化和（宏观/微观）动力学看作是两个算子，那这两个算子的可交换性指的是：'''从任意一个微观状态分布 <math>s^{(t)}</math> 出发，走这两条路径得到的 <math>A^{(t+1)}</math> 的分布是一样的'''，即

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