更改

公式核心是通过期望消除[[噪声]][[随机]]性，得到观测函数的平均演化 —— [[随机]] Koopman [[算子]]作用后，输出为[[确定性]]函数（平均观测值）。

公式核心是通过期望消除[[噪声]][[随机]]性，得到观测函数的平均演化 —— [[随机]] Koopman [[算子]]作用后，输出为[[确定性]]函数（平均观测值）。

对于光滑观测函数<math> g </math>，为了刻画Koopman算子在瞬时（即演化时间t趋近于0）的演化特性，我们引入无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（[[Lie算子]]，详细见下面与其他[[算子]]的关系-[[Lie算子]]），用以消除<math> \mathcal{K} </math>对时间t的依赖，根据[[随机]]微积分里的“[[链式法则]]”，[[伊藤公式（Ito's lemma）]]，可以将[[随机]] Koopman [[算子]]的[[生成元]]展开为：

和确定系统的情况类似，为了刻画Koopman算子在瞬时（即演化时间t趋近于0）的演化特性，我们引入无穷小生成元 <math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} </math>，用以消除<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>对时间t的依赖，根据[[随机]]微积分里的“[[链式法则]]”————[[伊藤公式（Ito's lemma）]]，可以将[[随机]] Koopman [[算子]]的[[生成元]]展开为：

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x)  \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x)  \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>