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→Perron-Frobenius算子
Perron-Frobenius (PF) [[算子]]，也被称为 Ruelle 转移[[算子]]，是[[非线性动力学]]的一种线性表示，与 Koopman [[算子]]的发展平行。Koopman [[算子]]演化的是从[[动力学]]定义域取值的测量函数（可观测量），而 PF [[算子]]不同，它演化的是支撑在[[动力学]]定义域上的[[测度]]（分布）。由于 PF [[算子]]和 Koopman [[算子]]可以在适当定义的函数空间中被证明是形式上的伴随，我们在此介绍一下PF[[算子]]<ref name=lasota_1994>A. Lasota and M. C. Mackey, Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics, 2nd ed., Appl. Math. Sci. 97, Springer-Verlag, New York, 1994. (Cited on pp. 240, 270, 271, 273, 300)</ref><ref>E. M. Bollt and N. Santitissadeekorn, Applied and Computational Measurable Dynamics, Math. Model. Comput. 18, SIAM, Philadelphia, 2013, https://doi.org/10.1137/1. 9781611972641. (Cited on p. 270)</ref>。
Perron-Frobenius (PF) [[算子]]，也被称为 Ruelle 转移[[算子]]，是[[非线性动力学]]的一种线性表示，与 Koopman [[算子]]的发展平行。Koopman [[算子]]演化的是从[[动力学]]定义域取值的测量函数（可观测量），而 PF [[算子]]不同，它演化的是支撑在[[动力学]]定义域上的[[测度]]（分布）。由于 PF [[算子]]和 Koopman [[算子]]可以在适当定义的函数空间中被证明是形式上的伴随，我们在此介绍一下PF[[算子]]<ref name=lasota_1994>A. Lasota and M. C. Mackey, Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics, 2nd ed., Appl. Math. Sci. 97, Springer-Verlag, New York, 1994. (Cited on pp. 240, 270, 271, 273, 300)</ref><ref>E. M. Bollt and N. Santitissadeekorn, Applied and Computational Measurable Dynamics, Math. Model. Comput. 18, SIAM, Philadelphia, 2013, https://doi.org/10.1137/1. 9781611972641. (Cited on p. 270)</ref>。
设[[动力学]]的定义域 <math>\mathcal{X}</math> 被赋予[[Borel可测空间]]的结构。给定一个[[概率测度]] <math>\mu</math> 和任意可测集 <math>A</math>，'''定义'''PF[[算子]]为
'''定义（PF算子）：'''设[[动力学]]的定义域 <math>\mathcal{X}</math> 被赋予[[Borel可测空间]]的结构。给定一个[[概率测度]] <math>\mu</math> 和任意可测集 <math>A</math>，'''定义'''PF[[算子]]为
:<math>\mathcal{P}^t \mu(A) := \mu(\mathbf{F}^{-t}(A)),</math>
:<math>\mathcal{P}^t \mu(A) := \mu(\mathbf{F}^{-t}(A)),</math>
:<math>\int_A \mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) dm = \int_{\mathbf{F}^{-t}(A)} g(\mathbf{x}) dm</math>
:<math>\int_A \mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) dm = \int_{\mathbf{F}^{-t}(A)} g(\mathbf{x}) dm</math>
上式对于任意 Borel 集 <math>A</math> 成立。如果流映射还是光滑的，则该定义等价于
'''性质（函数空间上的表达）：'''上式对于任意 Borel 集 <math>A</math> 成立。如果流映射还是光滑的，则该定义等价于
:<math>\mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) = \int_{\mathbf{F}^{-t}(\mathbf{x})} \frac{g(\mathbf{s})}{|\nabla \mathbf{F}^t(\mathbf{s})|} dm(\mathbf{s}),</math>
:<math>\mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) = \int_{\mathbf{F}^{-t}(\mathbf{x})} \frac{g(\mathbf{s})}{|\nabla \mathbf{F}^t(\mathbf{s})|} dm(\mathbf{s}),</math>
其中 <math>|\nabla \mathbf{F}^t|</math> 表示流映射导数的[[雅可比行列式]]的行列式值。
其中 <math>|\nabla \mathbf{F}^t|</math> 表示流映射导数的[[雅可比行列式]]的行列式值。
这两种表述（即之前的定义与上述积分定义）通过将 <math>g \in L^1</math> 解释为定义绝对连续于 <math>dm</math> 的概率测度的密度（即 <math>d\mu = g dm</math>）而联系起来。假设动力学可以被限制在一个有限测度的空间内，则有 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm) \subset L^2(\mathcal{X}, dm) \subset L^1(\mathcal{X}, dm)</math>。在这种设定下，Koopman 算子和 PF 算子可以分别定义在 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm)</math> 和 <math>L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 上，或者都定义在 <math>L^2(\mathcal{X}, dm)</math> 上，并且可以证明它们互为伴随<ref name=lasota_1994 />：
这两种表述（即之前的定义与上述积分定义）通过将 <math>g \in L^1</math> 解释为绝对连续于 <math>dm</math> 的概率测度的密度（即 <math>d\mu = g dm</math>）而联系起来。
'''性质（伴随关系）：'''假设动力学可以被限制在一个有限测度的空间内，则有 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm) \subset L^2(\mathcal{X}, dm) \subset L^1(\mathcal{X}, dm)</math>。在这种设定下，Koopman 算子和 PF 算子可以分别定义在 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm)</math> 和 <math>L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 上，或者都定义在 <math>L^2(\mathcal{X}, dm)</math> 上，并且可以证明它们互为伴随<ref name=lasota_1994 />：
:<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>
:<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>
对于用随机矩阵近似PF算子，一种早期使用且至今仍在使用的技术被称为[[Ulam方法]]，这是以Ulam的一个猜想命名的<ref>S. Ulam, Problems in Modern Mathematics, Science Editions, 1960. (Cited on p. 271)</ref>。关于[[Ulam方法]]本身的介绍，读者可进一步查阅该词条。
对于用随机矩阵近似PF算子，一种早期使用且至今仍在使用的技术被称为[[Ulam方法]]，这是以Ulam的一个猜想命名的<ref>S. Ulam, Problems in Modern Mathematics, Science Editions, 1960. (Cited on p. 271)</ref>。关于[[Ulam方法]]本身的介绍，读者可进一步查阅该词条。
PF [[算子]]的[[特征函数]]对应于[[状态空间]]中点的复数值分布，这些分布根据相关的[[特征值]]进行演化
'''定义（特征函数）：'''PF [[算子]]的[[特征函数]]对应于[[状态空间]]中点的复数值分布，这些分布根据相关的[[特征值]]进行演化
:<math>\mathcal{P}^t \rho = \lambda^t \rho.</math>
:<math>\mathcal{P}^t \rho = \lambda^t \rho.</math>