更改

4. 无穷小[[生成元]]：Koopman[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Lie算子]]，即在观测空间中，根据Koopman[[算子]][[迭代]]的一步过程可以由[[Lie算子]]作用很多步生成得到。详细的阐述见后文“[[Lie算子]]”章节。

4. 无穷小[[生成元]]：Koopman[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Lie算子]]，即在观测空间中，根据Koopman[[算子]][[迭代]]的一步过程可以由[[Lie算子]]作用很多步生成得到。详细的阐述见后文“[[Lie算子]]”章节。

=Koopman模式分解=

=Koopman[[模式分解]]=

==特征函数与特征值==

===[[特征函数]]的定义===

'''定义（Koopman[[算子]]的[[特征函数]]）'''：当时间离散的时候，对应于[[特征值]]<math> \lambda </math>的Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>定义如下：

 

'''定义（Koopman算子的特征函数）'''：当时间离散的时候，对应于[[特征值]]<math> \lambda </math>的Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>定义如下：

{{NumBlk|:|

{{NumBlk|:|

其中<math>\mu</math>是[[连续]]时间下的[[特征值]]。一般来说，即使[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>和[[动力学]]<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，[[特征值]]和[[特征向量]]通常分别是复值的[[标量]]和函数。

其中<math>\mu</math>是[[连续]]时间下的[[特征值]]。一般来说，即使[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>和[[动力学]]<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，[[特征值]]和[[特征向量]]通常分别是复值的[[标量]]和函数。

===关于特征值与特征函数的若干性质===

===关于[[特征值]]与[[特征函数]]的若干性质===

====性质1（离散谱与连续谱）====

====性质1（离散谱与[[连续谱]]）====

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。哈密顿系统的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其振荡振幅会不断变化，则往往会得到连续谱。下面我们给出它们的严格定义

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。[[哈密顿系统]]的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其[[振荡]]振幅会不断变化，则往往会得到[[连续谱]]。下面我们给出它们的严格定义。

给定算子 <math>\mathcal{T}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}</math>，其中<math>\mathcal{G}</math>为某个函数空间，我们将谱 <math>\sigma(\mathcal{T})</math> 定义为使得算子 <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 不存在有界逆算子（bounded inverse）的标量 <math>\lambda</math> 的集合。谱可以根据预解算子（resolvent） <math>(\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})^{-1}</math> 不存在为有界算子的具体原因进一步划分为不同的子集。  

给定[[算子]] <math>\mathcal{T}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}</math>，其中<math>\mathcal{G}</math>为某个函数空间，我们将谱 <math>\sigma(\mathcal{T})</math> 定义为使得[[算子]] <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 不存在有界逆[[算子]]（bounded inverse）的[[标量]] <math>\lambda</math> 的[[集合]]。谱可以根据预解[[算子]]（resolvent） <math>(\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})^{-1}</math> 不存在为[[有界算子]]的具体原因进一步划分为不同的[[子集]]。  

1. 离散谱（点谱，Point Spectrum）  

'''定义（离散谱/[[点谱]]，Point Spectrum）：'''  

离散谱，记为 <math>\sigma_p(\mathcal{T})</math>，由那些使得算子 <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 为非单射（noninjective）的 <math>\lambda</math> 组成。这与有限维矩阵分析中的特征值概念一致，意味着存在非零的特征向量（或特征函数）。  

离散谱，记为 <math>\sigma_p(\mathcal{T})</math>，由那些使得[[算子]] <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 为非单射（noninjective）的 <math>\lambda</math> 组成。这与有限维矩阵分析中的[[特征值]]概念一致，意味着存在非零的[[特征向量]]（或[[特征函数]]）。  

:<math>\mathcal{T}\boldsymbol{\xi} = \lambda \boldsymbol{\xi} \quad \text{或} \quad (\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})\boldsymbol{\xi} = 0</math>   

:<math>\mathcal{T}\boldsymbol{\xi} = \lambda \boldsymbol{\xi} \quad \text{或} \quad (\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})\boldsymbol{\xi} = 0</math>   

其中 <math>\boldsymbol{\xi} \in \mathcal{G}</math> 便是特征函数。  

其中 <math>\boldsymbol{\xi} \in \mathcal{G}</math> 便是[[特征函数]]。  

2. 连续谱（Continuous Spectrum）  

'''定义（[[连续谱]]，Continuous Spectrum）：'''  

连续谱记为 <math>\sigma_c(\mathcal{T})</math>，由满足以下条件的 <math>\lambda</math> 组成：算子 <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 的值域不是整个上域（即非满射，nonsurjective），但其值域在整个上域中是稠密的。  

[[连续谱]]记为 <math>\sigma_c(\mathcal{T})</math>，由满足以下条件的 <math>\lambda</math> 组成：[[算子]] <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 的[[值域]]不是整个[[希尔伯特空间]]（即非满射，nonsurjective），但其[[值域]]在整个[[希尔伯特空间]]中是稠密的。  

在Koopman理论的背景下，这相当于表明对于任意的 <math>\varepsilon</math>，都存在一个可观测量 <math>g_\varepsilon</math> 使得近似特征值关系成立。  

在Koopman[[算子]]理论的背景下，这相当于表明对于任意的 <math>\varepsilon</math>，都存在一个可观测量 <math>g_\varepsilon</math> 使得近似[[特征值]]关系成立。  

:<math>\| \mathcal{T} g_\varepsilon - \lambda g_\varepsilon \| < \varepsilon</math>

:<math>\| \mathcal{T} g_\varepsilon - \lambda g_\varepsilon \| < \varepsilon</math>

====性质2（线性动力学中的特征函数）====

====性质2（线性[[动力学]]中的[[特征函数]]）====

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

</math>

</math>

:<math>

:<math>

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右[[特征向量]]在[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的[[方向]]。而左[[特征向量]]则对应于Koopman[[特征函数]]，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的[[方向]]。

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右[[特征向量]]在[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的[[方向]]。而左[[特征向量]]则对应于Koopman[[特征函数]]，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的[[方向]]。

====性质3（特征函数的生成）====

====性质3（[[特征函数]]的生成）====

在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

====性质4（特征函数与观测函数的关系）====

====性质4（[[特征函数]]与观测函数的关系）====

这一性质是[[动力学模式分解]]（Dynamic Mode Decomposition, DMD）方法的基础。

这一性质是[[动力学模式分解]]（Dynamic Mode Decomposition, DMD）方法的基础。

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

====性质5（哈密顿系统的特征函数）====

====性质5（[[哈密顿系统]]的[[特征函数]]）====

对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。

===Koopman模式分解的定义===

===Koopman[[模式分解]]的定义===

'''定义（Koopman模式分解）'''：我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：

'''定义（Koopman[[模式分解]]）'''：我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：

:<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>

:<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>

这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''。

这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''。

这一理论由Mezić于2005年提出<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，我们可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的数学对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

这一理论由Mezić于2005年提出<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，我们可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的[[数学]]对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==

==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==

注意，一般矩阵的[[特征值分解]]通常是唯一的，其[[特征向量]]是有限维的，每个本征空间是有限维的，且[[特征值]]个数有限。而Koopman[[算子]]是作用在[[无限]]维的函数空间上的，所以会有[[无限]]多个[[特征函数]]。只要有[[生成元]]，就可以[[无限]]地生成新的[[特征函数]]。而换一组[[生成元]]，[[特征函数]]的表现形式会很不一样。

注意，一般矩阵的[[特征值分解]]通常是唯一的，其[[特征向量]]是有限维的，每个本征空间是有限维的，且[[特征值]]个数有限。而Koopman[[算子]]是作用在[[无限]]维的函数空间上的，所以会有[[无限]]多个[[特征函数]]。只要有[[生成元]]，就可以[[无限]]地生成新的[[特征函数]]。而换一组[[生成元]]，[[特征函数]]的表现形式会很不一样。

===傅立叶平均===

===傅立叶平均===

它描述了[[非线性]]扰动下保面积[[哈密顿系统]]的[[相空间]][[动力学]]。[[标准映射]]体现了系统从有序到[[混沌]]的逐渐演化，广泛用于研究[[混沌现象]]、[[KAM理论]]和[[分形结构]]，是理解[[非线性动力学]]的重要模型。

它描述了[[非线性]]扰动下保面积[[哈密顿系统]]的[[相空间]][[动力学]]。[[标准映射]]体现了系统从有序到[[混沌]]的逐渐演化，广泛用于研究[[混沌现象]]、[[KAM理论]]和[[分形结构]]，是理解[[非线性动力学]]的重要模型。

现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的[[特征值]]为1的[[特征函数]]<math> \varphi(x_0,y_0) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \sin(6\pi x_t)\,\sin(4\pi y_t)dt </math>在[[相空间]]上的分布，其中<math>x_t,y_t</math>分别是<math>x_0,y_0</math>根据动力学运行t步之后的状态。特征函数的分布如下图所示：

现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的[[特征值]]为1的[[特征函数]]<math> \varphi(x_0,y_0) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \sin(6\pi x_t)\,\sin(4\pi y_t)dt </math>在[[相空间]]上的分布，其中<math>x_t,y_t</math>分别是<math>x_0,y_0</math>根据[[动力学]]运行t步之后的状态。[[特征函数]]的分布如下图所示：

[[文件:Standardmap.png|301x301像素|替代=]]

[[文件:Standardmap.png|301x301像素|替代=]]

:<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

:<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

在经过Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>作用后，仍然留在该子空间：

在经过Koopman[[算子]]<math>\mathcal{K}</math>作用后，仍然留在该子空间：

:<math> \mathcal{K}g = \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + \cdots + \beta_p g_p </math>

:<math> \mathcal{K}g = \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + \cdots + \beta_p g_p </math>

将Koopman算子限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在<math>\mathbb{R}^p</math>上的向量空间，其坐标由各个<math>g_j(\mathbf{x})</math>的取值给定。这将诱导出一个有限维的线性系统。

将Koopman[[算子]]限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在<math>\mathbb{R}^p</math>上的[[向量]]空间，其坐标由各个<math>g_j(\mathbf{x})</math>的取值给定。这将诱导出一个有限维的[[线性系统]]。

Koopman算子的任意有限组特征函数都将张成一个不变子空间。把这些特征函数作为系统的“特征坐标”是Koopman分析中很重要的一步，因为沿这些特征函数方向，系统动力学本质上是线性化的。在实际操作中，我们通常只能识别出一个近似的不变子空间，由一组函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成，并且每个函数<math>g_j</math>都可以由有限组特征函数近似表示<math> g_j \approx \sum_{k=1}^p v_{jk} \varphi_k </math>。如果我们在实际操作过程中，选取的观测函数不能张成一个不变子空间的话，最后得到的Koopman矩阵会出现[[伪特征值]]的问题（参见5.3.1节）<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>。

Koopman[[算子]]的任意有限组[[特征函数]]都将张成一个不变子空间。把这些[[特征函数]]作为系统的“特征坐标”是Koopman分析中很重要的一步，因为沿这些[[特征函数]][[方向]]，[[系统动力学]]本质上是[[线性化]]的。在实际操作中，我们通常只能识别出一个近似的不变子空间，由一组函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成，并且每个函数<math>g_j</math>都可以由有限组[[特征函数]]近似表示<math> g_j \approx \sum_{k=1}^p v_{jk} \varphi_k </math>。如果我们在实际操作过程中，选取的观测函数不能张成一个不变子空间的话，最后得到的Koopman矩阵会出现[[伪特征值]]的问题（参见5.3.1节）<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>。

=Koopman[[算子]]应用的简单案例=

=Koopman[[算子]]应用的简单案例=