更改

第一步，先定义核矩阵：我们将所有初始状态<math>\{\mathbf{x}_i\}</math>和演化后状态<math>\{\mathbf{y}_i\}</math>（<math>\mathbf{y}_i = F(\mathbf{x}_i)</math>，<math>F</math>为系统状态转移函数）代入核函数，构造两个核心核矩阵：

第一步，先定义核矩阵：我们将所有初始状态<math>\{\mathbf{x}_i\}</math>和演化后状态<math>\{\mathbf{y}_i\}</math>（<math>\mathbf{y}_i = F(\mathbf{x}_i)</math>，<math>F</math>为系统状态转移函数）代入核函数，构造两个核心核矩阵：

<math>(\mathbf{Ker}_{XX})_{ij} = ker(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), \quad (\mathbf{Ker}_{YX})_{ij} = ker(\mathbf{y}_i, \mathbf{x}_j)</math>

:<math>(\mathbf{Ker}_{XX})_{ij} = ker(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), \quad (\mathbf{Ker}_{YX})_{ij} = ker(\mathbf{y}_i, \mathbf{x}_j)</math>

这两个矩阵的本质是，把RKHS中隐式特征映射<math>\phi</math>的内积运算，直接转化为矩阵运算（无需写出<math>\phi</math>的具体形式）。

这两个矩阵的本质是，把RKHS中隐式特征映射<math>\phi</math>的内积运算，直接转化为矩阵运算（无需写出<math>\phi</math>的具体形式）。

第二步，核DMD假设Koopman算子在RKHS中的作用，满足类似标准DMD的线性近似关系，即<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>：

第二步，核DMD假设Koopman算子在RKHS中的作用，满足类似标准DMD的线性近似关系，即<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>：

<math>\mathbf{Ker}_{YX} \approx \mathbf{K}_\phi \mathbf{Ker}_{XX}</math>

:<math>\mathbf{Ker}_{YX} \approx \mathbf{K}_\phi \mathbf{Ker}_{XX}</math>

 

其中，<math>(\mathbf{Ker}_{XX})_{ij} = ker(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), \quad (\mathbf{Ker}_{YX})_{ij} = ker(\mathbf{y}_i, \mathbf{x}_j)</math>

也就是，“演化后状态与初始状态的相似性”，可由“Koopman矩阵作用于初始状态间的相似性”近似得到。

也就是，“演化后状态与初始状态的相似性”，可由“Koopman矩阵作用于初始状态间的相似性”近似得到。

第三步，从上述近似关系出发，能直接得到Koopman近似矩阵：

第三步，从上述近似关系出发，能直接得到Koopman近似矩阵：

<math>\mathbf{K}_\phi \approx \mathbf{Ker}_{XX}^\dagger \mathbf{Ker}_{YX}</math>

:<math>\mathbf{K}_\phi \approx \mathbf{Ker}_{XX}^\dagger \mathbf{Ker}_{YX}</math>

核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计[[非线性]][[特征函数]]。此外，[[核技巧]]减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种[[核函数]]，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。

核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计[[非线性]][[特征函数]]。此外，[[核技巧]]减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种[[核函数]]，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。