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→数量级，对数
在生物学中，规模法则还有一个名称叫做[[异速生长标度律]]（Allometric Scaling Law），或简称[[异速生长]]（Allometry），表示关注的变量（例如骨骼强度）会随着生物体规模（体重）以不同的速度生长。
在生物学中，规模法则还有一个名称叫做[[异速生长标度律]]（Allometric Scaling Law），或简称[[异速生长]]（Allometry），表示关注的变量（例如骨骼强度）会随着生物体规模（体重）以不同的速度生长。
=== 数量级，对数 ===
=== 数量级与对数表示 ===
在规模分析的框架下，数量级和对数刻度是两个极为重要的概念<ref name=":4" />。数量级（order of magnitude）指的是一个数值以 10 为底的幂次表示方式，用于描述跨越巨大尺度的变化。例如，[math]\displaystyle 10^1, 10^2, 10^3, \dots[/math]分别代表十、百、千这样成倍扩展的规模。对数刻度则能将等比数列转换为等差数列，例如对上面的序列取10为底的对数，则得到[math]1,2,3,\dots[/math]。
==== 数量级与对数表示 ====
==== 数量级与对数表示 ====
除此之外，对数表示与规模法则，或更广泛的幂律关系也存在着深刻联系。这是因为，对数表示可以将幂律关系转变为线性关系。
:<math>
如果我们对{{EquationNote|1}}式两边都取10为底的对数，则我们得到：
{{NumBlk|:|
<math>
\log Y = \alpha \log X + \log c
\log Y = \alpha \log X + \log c
</math>
</math>
|{{EquationRef|linear}}}}
如果我们将[math]\log X[/math]和[math]\log Y[/math]理解为两个新的变量[math]X',Y'[/math]，则上式表达了[math]X',Y'[/math]二者之间的一个线性关系。且该线性方程的斜率为[math]\alpha[/math]，截距为[math]\log c[/math]。
从数量级的角度来说，[math]Y[/math]变量的数量级是[math]X[/math]变量的[math]\alpha[/math]倍。
====实证数据分析方法====
这种线性关系很方便我们用[[线性回归]]，例如[[最小二乘法]]（Ordinary Least Square，简称OLS）或[[主轴回归法]]（Major Axis，简称MA）来求出方程中的斜率[math]\alpha[/math]和截距[math]\log c[/math]。
这种线性关系很方便我们用[[线性回归]]，例如[[最小二乘法]]（Ordinary Least Square，简称OLS）或[[主轴回归法]]（Major Axis，简称MA）来求出方程中的斜率[math]\alpha[/math]和截距[math]\log c[/math]。
当我们拿来两组成对的数据，例如所有国家的人口与GDP，则我们可以对这两组数据取对数，然后绘制散点图，并使用[[最小二乘法]](OLS)进行[[线性回归]]，我们就可以估计出这两组数据的规模法则系数和幂指数了。使用这种方法我们可以检验数据之中的规模法则，并估计其关键参数。
当我们拿来两组成对的数据，例如所有国家的人口与GDP，则我们可以对这两组数据取对数，然后绘制散点图，并使用[[最小二乘法]](OLS)进行[[线性回归]]，我们就可以估计出这两组数据的规模法则系数和幂指数了。使用这种方法我们可以检验数据之中的规模法则，并估计其关键参数。
==== 应用实例： ====
===相对增长关系===
如果我们对式{{EquationNote|linear}}两边求导数，并注意到对数函数的求导法则（[math]d\log X=dX/X[/math])，我们有[math]dY/Y=\alpha dX/X[/math]，将其写为差分的形式：
{{NumBlk|:|
<math>
\frac{\Delta Y}{Y} = \alpha \frac{\Delta X}{X}
</math>
|{{EquationRef|growth_rate}}}}
这里，[math]\frac{\Delta Y}{Y}[/math],[math]\frac{\Delta X}{X}[/math]分别表达的是[math]Y[/math],[math]X[/math]的增长率。
因此，{{EquationNote|growth_rate}}式表达的含义是：[math]Y[/math]的增长率是[math]X[/math]的[math]\alpha[/math]倍。也就是说，规模法则{{EquationNote|1}}式也表达了两个变量的相对增长速度关系，当[math]X[/math]增长1倍以后（即[math]\Delta X/X=1[/math]，[math]Y[/math]增长了[math]\alpha[/math]倍。
例如，地震能量释放是与里氏震级程序幂指数为1.5的规模法则，这意味着：地震波幅度每增加 1 个数量级，释放能量增加约 [math]10^{1.5} \approx 31.6[/math] 倍。
=== 应用实例： ===
药物剂量：动物与人体之间剂量并非线性缩放，而是依赖代谢率等幂律规律。大象LSD实验的失败就是线性思维的错误案例。
药物剂量：动物与人体之间剂量并非线性缩放，而是依赖代谢率等幂律规律。大象LSD实验的失败就是线性思维的错误案例。