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Koopman算子理论 (查看源代码)

2026年1月5日 (一) 12:36的版本

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[[文件:Hankel lorenz.png||无|Lorenz系统作为案例进行时间延迟DMD的分析。其中输入是观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列，输出是回归拟合之后得到的线性微分方程组的系数矩阵。如果考虑存在控制变量的话，输出还有控制变量前的系数。<ref name=brunton_2017 />|缩略图|600x600像素]]<br>

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时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]~~。其中输入的只有能观测到的~~<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：

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时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]。

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'''输入：'''其中输入的只有能观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：

:<math>

第629行：第631行：

来自[[SVD]]的<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列分别按其对 <math>\mathbf{H}</math> 的列和行建模的重要性逐次排列。根据定义，[[动力学]]将[[吸引子]]映射到自身，使其对[[流映射]]不变。通常，<math>\mathbf{H}</math> 允许用 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列进行低秩近似，因此这些列近似了一个 Koopman 不变子空间。因此，Hankel矩阵的列可以很好地由 <math>\mathbf{U}</math> 的前 <math>r</math> 列来近似。<math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列则描述了[[降维]]后的时间延迟空间中[[系统状态]]的随时间的演化轨迹。所以，通过绘制 <math>\mathbf{V}</math> 的前三列，我们重新获得了[[Lorenz系统]]的[[吸引子]]，如图中右上角所示。

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在延迟坐标 <math>\mathbf{v}</math> 上，我们可以得到一个最佳拟合线性[[回归]]模型。一个很直接的做法是，我们可以对由 <math>\mathbf{H}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的两个矩阵进行DMD估计。在实践中，学者建议对由 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的[[类似]]矩阵进行DMD估计，因为这样我们便可以在一个[[降维]]~~的特征空间中拟合系统的演化。下面是关于~~ <math>\mathbf{V}</math> 中变量的线性[[回归]]模型，

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在延迟坐标 <math>\mathbf{v}</math> 上，我们可以得到一个最佳拟合线性[[回归]]模型。一个很直接的做法是，我们可以对由 <math>\mathbf{H}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的两个矩阵进行DMD估计。在实践中，学者建议对由 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的[[类似]]矩阵进行DMD估计，因为这样我们便可以在一个[[降维]]的特征空间中拟合系统的演化。

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下面是关于 <math>\mathbf{V}</math> 中变量的线性[[回归]]模型，

:<math>

Matthew

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