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→案例：云杉蚜虫爆发模型
由于式中出现了四个参数<math>N</math>、<math>K</math>、<math>A</math>（鸟类捕食饱和点）、<math>B</math>（最大捕食率），需要通过无量纲化减少参数数量，同时将参数集中到逻辑斯蒂方程的部分，消除捕食率曲线中的参数来便于我们分析。
由于式中出现了四个参数<math>N</math>、<math>K</math>、<math>A</math>（鸟类捕食饱和点）、<math>B</math>（最大捕食率），需要通过无量纲化减少参数数量，同时将参数集中到逻辑斯蒂方程的部分，消除捕食率曲线中的参数来便于我们分析。
# 式子两边除以<math>B</math>，令<math>x=N/A</math>。得到<math>\frac{A \mathrm{~d} x}{B \mathrm{~d} t}=\frac{R}{B} A x\left(1-\frac{A x}{K}\right)-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}</math>
# 式子两边除以<math>B</math>，令<math>x=N/A</math>。得到<math>\frac{A \mathrm{~d} x}{B \mathrm{~d} t}=\frac{r}{B} A x\left(1-\frac{A x}{K}\right)-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}</math>
# 引入无量纲时间<math>\tau=\frac{B t}{A}</math>，无量纲参数<math>\quad r=\frac{R A}{B}</math>与<math>\quad k=\frac{K}{A}</math>。再根据链式微分法则可到最终的化简方程：<math>\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau } = rx(1-\frac{r}{x}) - \frac{x^2}{1+x^2} </math>
# 引入无量纲时间<math>\tau=\frac{B t}{A}</math>，无量纲参数<math>\quad r=\frac{r A}{B}</math>与<math>\quad k=\frac{K}{A}</math>。再根据链式微分法则可到最终的化简方程：<math>\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau } = rx(1-\frac{r}{k}) - \frac{x^2}{1+x^2} </math>
==分析过程==
==分析过程==
生态学背景下，一般假设<math>r>0</math>。此时<math>N=0</math>通常为不稳定不动点，因此分析实际问题时一般关注<math>N>0</math>的不动点的情况，即
<math display="block">
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau } = rx(1-\frac{r}{k}) - \frac{x^2}{1+x^2}
</math>
令<math>\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau } =0</math>。
生态学背景下，一般假设<math>r>0</math>。此时<math>x^*=0</math>通常为不稳定不动点，因此分析实际问题时一般关注<math>x^*>0</math>的不动点的情况，即
<math display="block">
\frac{r(1-\frac{r}{k}) - \frac{x^2}{1+x^2}
</math>
对该方程可转化为求解两条曲线的交点问题。
对该方程可转化为求解两条曲线的交点问题。
* 左侧<math>y_1(N) = r(1 - \frac{N}{K})</math>是一条穿过<math>(0, r)</math> 和 <math>(K, 0)</math> 的直线，斜率为负。
* 左侧<math>y_1(x) = r(1 - \frac{r}{k})</math>是一条穿过<math>(0, r)</math> 和 <math>(k, 0)</math> 的直线，斜率为负。
* 右侧<math>y_2(N) = \frac{BN}{A^2 + N^2}</math>从原点出发，先上升后下降，呈单峰状，与参数<math>r</math>、<math>K</math>均无关。
* 右侧<math>y_2(x) = \frac{x^2}{1+x^2} </math>从原点出发，先上升后下降，呈单峰状，与参数<math>r</math>，<math>k</math>无关。
[[File:Saddle Node case geometric-analyse.png|600px]]
[[File:Saddle Node case geometric-analyse.png|600px]]
将<math>k</math>视为主要控制参数
* 当<math>K</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定不动点。
* 当<math>k</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定不动点。
* 令<math>K</math>逐渐增大到某个临界值<math>K_1</math>时，<math>y_1(N)</math>与<math>y_2(N)</math>的下降段相切，出现了一个半稳定不动点。
* 令<math>k</math>逐渐增大到某个临界值<math>k_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半稳定不动点。
* 继续增大<math>K</math>，<math>y_1(N)</math>与<math>y_2(N)</math>的下降段出现了两个不动点（一个不稳定，一个稳定）。
* 继续增大<math>k</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个不动点（一个不稳定，一个稳定）。
此时这块下降段区域的变化就是鞍结点分岔。
此时这块下降段区域的变化就是鞍结点分岔。