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→大规模用户行为与量子统计
<div style="text-align: center;"> <math> \begin{Bmatrix}
<div style="text-align: center;"> <math> \begin{Bmatrix}
\psi _1=\alpha _1 | 0 \rangle + \beta _1 | \rangle & \text{with probability} p_1 =\frac{n_1}{n} \\
\psi _1=\alpha _1 | 0 \rangle + \beta _1 | \rangle & \text{with probability } p_1 =\frac{n_1}{n} \\
\psi _2=\alpha _2 | 0 \rangle + \beta _2 | \rangle & \text{with probability} p_2 =\frac{n_2}{n} \\
\psi _2=\alpha _2 | 0 \rangle + \beta _2 | \rangle & \text{with probability } p_2 =\frac{n_2}{n} \\
\cdot \cdot \cdot \\
\cdot \cdot \cdot \\
\psi _m=\alpha _m | 0 \rangle + \beta _m | \rangle & \text{with probability} p_m =\frac{n_m}{n}
\psi _m=\alpha _m | 0 \rangle + \beta _m | \rangle & \text{with probability } p_m =\frac{n_m}{n}
\end{Bmatrix} </math> </div>
\end{Bmatrix} </math> </div>
其中,<math> | \psi _i \rangle \langle \psi _i | </math>表示由状态矢量<math> \psi _i </math>与它自己完成张量基而构成的投影算符。比如,如果<math> \psi _i = \alpha _i | 0 \rangle + \beta _i | 1 \langle </math>,那么,在基坐标系<math> (|0>, |1>) </math>下面
其中,<math> | \psi _i \rangle \langle \psi _i | </math>表示由状态矢量<math> \psi _i </math>与它自己完成张量基而构成的投影算符。比如,如果<math> \psi _i = \alpha _i | 0 \rangle + \beta _i | 1 \langle </math>,那么,在基坐标系<math> (|0>, |1>) </math>下面
<math> | \psi _i \rangle \langle \psi _i | </math>的算符就可以表述成矩阵:
<math> | \psi _i \rangle \langle \psi _i | </math>的算符就可以表述成矩阵:
<div style="text-align: center;"> <math> | \psi _i \rangle \langle \psi _i | = \begin{Bmatrix}
\alpha _i ^* \alpha _i & \alpha _i ^* \beta _i \\
\alpha _i ^* \beta _i & \beta _i ^* \beta _i
\end{Bmatrix}</math> </div>
于是混合态<math> \Psi </math>也就可以表示成一个2*2的矩阵:
于是混合态<math> \Psi </math>也就可以表示成一个2*2的矩阵:
<div style="text-align: center;"> <math> \Psi = \begin{Bmatrix}
\sum _{i=1} ^m p_i \alpha _i ^* \alpha _i & \sum _{i=1} ^m p_i \alpha _i ^* \beta _i \\
\sum _{i=1} ^m p_i \alpha _i ^* \beta _i & \sum _{i=1} ^m p_i\beta _i ^* \beta _i
\end{Bmatrix}</math> </div>
这个矩阵的对角线上的数值恰好就是用户选择0或者1的概率,也就是,用户选择0的概率是:
这个矩阵的对角线上的数值恰好就是用户选择0或者1的概率,也就是,用户选择0的概率是:
<div style="text-align: center;"> <math> p(0) = \sum _{i=1} ^m p_i \alpha _i ^* \alpha _i </math> </div>
选择1的概率是:
选择1的概率是:
我们看到,如果每个量子态的分布pi退化到了确定的状态,也就是某个pi=1,其它的pi都是0,那么用户选择0或者1的概率就完全是由量子概率幅i或i给出的,由此我们退回到了只有一个用户进行选择的情况。如果i或i都是纯实数,这就相当于每个用户的选择可以看作一次抛硬币的实验,那么最终计算的p(0)和p(1)的结果就是我们常见的按照经典概率的运算结果。由此,采用量子力学中的密度矩阵,我们就可以对互联网上大量用户的选择行为进行完备的描述了,它不仅可以涵盖经典的情况,而且还包含了更多的量子概率的可能性。
<div style="text-align: center;"> <math> p(1) = \sum _{i=1} ^m p_i \beta _i ^* \beta _i </math> </div>
我们看到,如果每个量子态的分布<math>p_i</math>退化到了确定的状态,也就是某个<math>p_i=1</math>,其它的<math>p_i</math>都是0,那么用户选择0或者1的概率就完全是由量子概率幅<math> \alpha _i </math>或<math> \beta _i </math>给出的,由此我们退回到了只有一个用户进行选择的情况。如果<math> \alpha _i </math>或<math> \beta _i </math>都是纯实数,这就相当于每个用户的选择可以看作一次抛硬币的实验,那么最终计算的<math>p(0)</math>和<math>p(1)</math>的结果就是我们常见的按照经典概率的运算结果。由此,采用量子力学中的密度矩阵,我们就可以对互联网上大量用户的选择行为进行完备的描述了,它不仅可以涵盖经典的情况,而且还包含了更多的量子概率的可能性。
====虚拟世界与量子场论====
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