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[[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|Fig.1 二维线性系统不动点的迹-行列式（Trace-Determinant）分类平面图|替代=|无|389x389像素]]

[[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|Fig.1 二维线性系统不动点的迹-行列式（Trace-Determinant）分类平面图|替代=|无|389x389像素]]

* '''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。 此时鞍点在两个特征方向上表现出不同的动力学行为。负特征值对应<nowiki>'''</nowiki>稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，该方向上的轨迹随时间逐渐趋近平衡点；正特征值对应<nowiki>'''</nowiki>不稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，轨迹则随时间远离平衡 点。由于只有严格位于稳定方向上的轨迹才能收敛到平衡点，而附近的微小扰动产生的不稳定方向分量会随时间增长，因此鞍点整体上是不稳定的。例如，系统 [math]\dot{x}=x,\ \dot{y}=-y[/math] 的两个特征值分别为 [math]1[/math] 和 [math]-1[/math]，其中 [math]y[/math] 轴为稳定方向，[math]x[/math] 轴为不稳定方向，其余轨迹呈双曲线形状，由此形成如图Fig.2所示的典型鞍点相图[[文件:Saddle phase portrait.svg|无|缩略图|396x396像素|Fig.2 鞍点相图]]

'''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。 此时鞍点在两个特征方向上表现出不同的动力学行为。负特征值对应<nowiki>'''</nowiki>稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，该方向上的轨迹随时间逐渐趋近平衡点；正特征值对应<nowiki>'''</nowiki>不稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，轨迹则随时间远离平衡 点。由于只有严格位于稳定方向上的轨迹才能收敛到平衡点，而附近的微小扰动产生的不稳定方向分量会随时间增长，因此鞍点整体上是不稳定的。例如，系统 [math]\dot{x}=x,\ \dot{y}=-y[/math] 的两个特征值分别为 [math]1[/math] 和 [math]-1[/math]，其中 [math]y[/math] 轴为稳定方向，[math]x[/math] 轴为不稳定方向，其余轨迹呈双曲线形状，由此形成如图Fig.2所示的典型鞍点相图[[文件:Saddle phase portrait.svg|无|缩略图|396x396像素|Fig.2 鞍点相图]]

*'''结点（Node）：'''  当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号且互异的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。由于两个特征值均为实数，相轨迹通常沿特征方向趋近或远离平衡点，而不表现出围绕平衡点的旋转行为。  当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，系统形成'''稳定结点（Stable Node）'''。如 Fig.3(a) 所示，相轨迹从不同方向逐渐趋向平衡点，表明该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，系统形成'''不稳定结点（Unstable Node）'''。如 Fig.3(b) 所示，相轨迹从平衡点向外发散，附近任意微小扰动都会随时间远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。

*'''焦点（Focus）：'''  当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于'''焦点（Focus）'''。此时特征值可写为 [math]\lambda_{1,2}=T/2\pm i\omega[/math]，其中虚部使相轨迹围绕平衡点旋转，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是逐渐收缩还是向外发散。  当 [math]T<0[/math] 时，共轭复特征值的实部为负，系统形成'''稳定焦点（Stable Focus）'''。如 Fig.3(c) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐趋近平衡点，因此该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，共轭复特征值的实部为正，系统形成'''不稳定焦点（Unstable Focus）'''。如 Fig.3(d) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。

'''结点（Node）：'''  当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号且互异的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。由于两个特征值均为实数，相轨迹通常沿特征方向趋近或远离平衡点，而不表现出围绕平衡点的旋转行为。  当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，系统形成'''稳定结点（Stable Node）'''。如 Fig.3(a) 所示，相轨迹从不同方向逐渐趋向平衡点，表明该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，系统形成'''不稳定结点（Unstable Node）'''。如 Fig.3(b) 所示，相轨迹从平衡点向外发散，附近任意微小扰动都会随时间远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。

 

'''焦点（Focus）：'''  当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于'''焦点（Focus）'''。此时特征值可写为 [math]\lambda_{1,2}=T/2\pm i\omega[/math]，其中虚部使相轨迹围绕平衡点旋转，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是逐渐收缩还是向外发散。  当 [math]T<0[/math] 时，共轭复特征值的实部为负，系统形成'''稳定焦点（Stable Focus）'''。如 Fig.3(c) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐趋近平衡点，因此该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，共轭复特征值的实部为正，系统形成'''不稳定焦点（Unstable Focus）'''。如 Fig.3(d) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

*'''中心（Center）：''' 当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T=0[/math] 时，系统具有一对纯虚共轭特征值，可写为 [math]\lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{\Delta}[/math]。由于特征值的实部为零，轨迹既不会随时间趋近平衡点，也不会向外发散，而是围绕平衡点形成闭合轨道。  如 Fig.4 所示，相轨迹在平衡点周围持续作周期运动，因此该平衡点称为'''中心（Center）'''。此时系统保持周期性振荡，但轨迹不会收敛到平衡点。

 

'''中心（Center）：''' 当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T=0[/math] 时，系统具有一对纯虚共轭特征值，可写为 [math]\lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{\Delta}[/math]。由于特征值的实部为零，轨迹既不会随时间趋近平衡点，也不会向外发散，而是围绕平衡点形成闭合轨道。  如 Fig.4 所示，相轨迹在平衡点周围持续作周期运动，因此该平衡点称为'''中心（Center）'''。此时系统保持周期性振荡，但轨迹不会收敛到平衡点。

**[[文件:Fig4 center phase portrait.svg|无|缩略图|325x325像素|Fig.4 中心相图]]

**[[文件:Fig4 center phase portrait.svg|无|缩略图|325x325像素|Fig.4 中心相图]]

*'''星形结点（Star Node）：''' 当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，系统具有重复实特征值 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]。若系统矩阵 [math]A[/math] 具有两个线性无关的特征向量，则形成'''星形结点（Star Node）'''。此时相轨迹沿不同方向直接趋近或远离平衡点，如 Fig.5(a) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，重复特征值为负，轨迹随时间趋近平衡点，形成稳定星形结点；当 [math]T>0[/math] 时，重复特征值为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定星形结点。

 

*'''退化结点（Improper Node）：'''  当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，若系统矩阵 [math]A[/math] 只有一个线性无关的特征向量，则形成'''退化结点（Improper Node）'''。与星形结点不同，退化结点附近的相轨迹通常呈弯曲形态，并在接近平衡点时逐渐与唯一的特征方向相切，如 Fig.5(b) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，轨迹趋近平衡点，形成稳定退化结点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹远离平衡点，形成不稳定退化结点。

*'''非孤立平衡点（Non-isolated Equilibrium Points）：'''  当 [math]\Delta=0[/math] 时，系统至少存在一个零特征值，因此系统矩阵 [math]A[/math] 为奇异矩阵，平衡点不一定是孤立的。若 [math]T\neq0[/math]，两个特征值分别为 [math]0[/math] 和 [math]T[/math]，矩阵的零空间通常形成一条由平衡点组成的直线。当 [math]T<0[/math] 时，附近轨迹趋向这条平衡点直线，如 Fig.5(c) 所示；当 [math]T>0[/math] 时，附近轨迹则远离该平衡点直线。  当 [math]T=0[/math] 且 [math]\Delta=0[/math] 时，两个特征值均为零。若 [math]A=0[/math]，则整个相平面上的点均为平衡点；若 [math]A\neq0[/math]，则系统存在一条平衡点直线，其余轨迹沿与该直线平行的方向发生线性漂移。

'''星形结点（Star Node）：''' 当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，系统具有重复实特征值 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]。若系统矩阵 [math]A[/math] 具有两个线性无关的特征向量，则形成'''星形结点（Star Node）'''。此时相轨迹沿不同方向直接趋近或远离平衡点，如 Fig.5(a) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，重复特征值为负，轨迹随时间趋近平衡点，形成稳定星形结点；当 [math]T>0[/math] 时，重复特征值为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定星形结点。

 

'''退化结点（Improper Node）：'''  当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，若系统矩阵 [math]A[/math] 只有一个线性无关的特征向量，则形成'''退化结点（Improper Node）'''。与星形结点不同，退化结点附近的相轨迹通常呈弯曲形态，并在接近平衡点时逐渐与唯一的特征方向相切，如 Fig.5(b) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，轨迹趋近平衡点，形成稳定退化结点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹远离平衡点，形成不稳定退化结点。

 

'''非孤立平衡点（Non-isolated Equilibrium Points）：'''  当 [math]\Delta=0[/math] 时，系统至少存在一个零特征值，因此系统矩阵 [math]A[/math] 为奇异矩阵，平衡点不一定是孤立的。若 [math]T\neq0[/math]，两个特征值分别为 [math]0[/math] 和 [math]T[/math]，矩阵的零空间通常形成一条由平衡点组成的直线。当 [math]T<0[/math] 时，附近轨迹趋向这条平衡点直线，如 Fig.5(c) 所示；当 [math]T>0[/math] 时，附近轨迹则远离该平衡点直线。  当 [math]T=0[/math] 且 [math]\Delta=0[/math] 时，两个特征值均为零。若 [math]A=0[/math]，则整个相平面上的点均为平衡点；若 [math]A\neq0[/math]，则系统存在一条平衡点直线，其余轨迹沿与该直线平行的方向发生线性漂移。

[[文件:Fig5 退化情况.png|无|缩略图|1159x1159px|Fig.5 退化情况: 星形结点、退化结点和非孤立平衡点]]

[[文件:Fig5 退化情况.png|无|缩略图|1159x1159px|Fig.5 退化情况: 星形结点、退化结点和非孤立平衡点]]