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[[File:蝴蝶效应.jpg|400px|thumb|right]][[File:蝴蝶效应2.jpg|400px|thumb|right|]]
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[[File:蝴蝶效应2.jpg|400px|thumb|right|值ρ= 28,σ= 10,β= 8/3 的Lorenz [[奇异吸引子]]的图。蝴蝶效应或对初始条件的敏感依赖性是[[动力学系统]]的特性,该[[动力学系统]][[吸引子]]上的各种任意接近的替代初始条件中的任意一个开始,迭代点将彼此任意散布。]]
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其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>,对于有理数 <math>θ</math> ,在有限次数的迭代之后,<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的  <math>θ</math> 都是无理数的,那么对于无理数的 <math>θ</math> ,<math>x_{n}</math> 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding :因子 ,<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长,这导致对初始条件的敏感依赖(即蝴蝶效应),而正弦平方函数将 ,<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。
 
其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>,对于有理数 <math>θ</math> ,在有限次数的迭代之后,<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的  <math>θ</math> 都是无理数的,那么对于无理数的 <math>θ</math> ,<math>x_{n}</math> 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding :因子 ,<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长,这导致对初始条件的敏感依赖(即蝴蝶效应),而正弦平方函数将 ,<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。
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! colspan=3| [[Lorenz吸引子]]中的蝴蝶效应
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|colspan="2" style="text-align:center;"| 时间 0&nbsp;≤&nbsp;''t''&nbsp;≤&nbsp;30 [[:Image:TwoLorenzOrbits.jpg|TwoLorenzOrbits.jpg]]
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| style="text-align:center;"| ''z'' 坐标 [[:Image:LorenzCoordinatesBig.png|LorenzCoordinatesBig.png]]
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| colspan="2" style="text-align:center;"|[[Image:TwoLorenzOrbits.jpg|300px]]
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| style="text-align:center;"|[[Image:LorenzCoordinatesSmall.jpg|300px]]
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|colspan=3| 这些图显示了在[[Lorenz吸引子]]中在相同时间段内两个轨迹的三维演化的两个部分(一个为蓝色,另一个为黄色),从两个初始点开始,它们在x上仅相差10<sup>−5</sup> 坐标。最初,两个轨迹似乎是重合的,如蓝色和黄色轨迹的''z''坐标之间的微小差异所表明的,但对于''t''&nbsp;>&nbsp;23而言,该差异与该轨迹的值一样大。圆锥体的最终位置指示两条轨迹在''t''&nbsp;=&nbsp;30. 不再重合。 
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| style="text-align:center;" colspan="3"| 洛伦兹吸引子的动画显示了不断的发展。
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== 应用 ==
 
== 应用 ==
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