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→混沌与Logistic映射
图10中，右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了Logistic映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>μ</math>=4的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。
图10中，右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了Logistic映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。
此外，以便研究Logistic映射的更深层结构。 图(b)演示了在最初点的附近是如何开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 <math>x_t</math> 区域。
此外，以便研究Logistic映射的更深层结构。 图(b)演示了在最初点的附近是如何开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 <math>x_t</math> 区域。
有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子，则存在一概率量测描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以<math>μ</math>=4的Logistic映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其概率量测对应参数<math> a=0.5,b=0.5</math>的Β分布<ref>{{cite journal |last=Jakobson |first=M. |title=Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=81 |issue=1 |year=1981 |pages=39–88 |doi=10.1007/BF01941800 |bibcode=1981CMaPh..81...39J }}</ref>，其不变测度为：
有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子，则存在一概率量测描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其概率量测对应参数<math> a</math>=0.5,<math>b</math>=0.5的Β分布<ref>{{cite journal |last=Jakobson |first=M. |title=Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=81 |issue=1 |year=1981 |pages=39–88 |doi=10.1007/BF01941800 |bibcode=1981CMaPh..81...39J }}</ref>，其不变测度为：
:<math> {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}</math>。
:<math> {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}</math>。