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[[File:P5_Mandelbrot_sequence_new.gif|256px|thumb|right|放大后的曼德布洛特集]]
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'''阿德里安 · 杜阿迪 Adrien Douady'''为纪念数学家'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''而将该特殊集命名为'''曼德布洛特集 Mandelbrot set '''。<ref name="John H. Hubbard 1985">Adrien Douady and John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)</ref>曼德布洛特集中的复数<math> c </math>使得数列<math> f_c(0) , f_c(f_c(0)) , \dotsc </math>等在取绝对值后仍保持有界。该集合与'''朱利亚集 Julia set'''有着很深的内在联系，由于他们都使用相同的复二次多项式来进行迭代。朱利亚集也会产生与曼德布洛特集相类似的分形图案。
'''阿德里安 · 杜阿迪 Adrien Douady'''为纪念数学家'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''而将该特殊集命名为'''曼德布洛特集 Mandelbrot set '''。<ref name="John H. Hubbard 1985">Adrien Douady and John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)</ref>曼德布洛特集中的复数<math> c </math>使得数列<math> f_c(0) , f_c(f_c(0)) , \dotsc </math>等在取绝对值后仍保持有界。该集合与'''朱利亚集 Julia set'''有着很深的内在联系，由于他们都使用相同的复二次多项式来进行迭代。朱利亚集也会产生与曼德布洛特集相类似的分形图案。
数学家海因茨-奥托·佩特根 Heinz-Otto Peitgen 和彼得·里希特 Peter Richter通过照片、书籍<ref>{{cite book |title=The Beauty of Fractals |last=Peitgen |first=Heinz-Otto |author2=Richter Peter |year=1986 |publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg |isbn=0-387-15851-0 |title-link=The Beauty of Fractals }}</ref>，在德国歌德学院 Goethe-Institut举办国际巡回展览等宣传方式，让曼德布洛特集进入大众的视野中，受到广泛的关注。 <ref>Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.</ref><ref>{{cite book |title=Chaos: Making a New Science |last=Gleick |first=James |year=1987 |publisher=Cardinal |location=London |pages=229 |title-link=Chaos: Making a New Science }}</ref>该封面展示了一幅以(-0.909,-0.275)为坐标的曼德布洛特集图形，该图形由Peitgen创作。<ref>{{cite magazine |title= Computer Recreations, August 1985; A computer microscope zooms in for a look at the most complex object in mathematics |last=Dewdney |first=A. K. |year=1985 |magazine=Scientific American |url=https://www.scientificamerican.com/media/inline/blog/File/Dewdney_Mandelbrot.pdf}}</ref><ref>{{cite book |title=Fractals: The Patterns of Chaos |author=John Briggs |year=1992 |page=80}}</ref> 1985年8月'''《科学美国人 Scientific American 》'''的封面文章向广大读者介绍了计算曼德布洛特集的算法。20世纪80年代中期，当个人计算机的功能变得足够强大，可以绘制图形并以高分辨率显示这些图形时，曼德布洛特集被运用到计算机图形学的图像演示中，并日益凸显了它的重要性。<ref>{{cite magazine |last=Pountain |first=Dick |date=September 1986 |title= Turbocharging Mandelbrot |url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1986-09/1986_09_BYTE_11-09_The_68000_Family#page/n370/mode/1up |magazine= [[Byte (magazine) |Byte]] |access-date=11 November 2015 }}</ref>
数学家海因茨-奥托·佩特根 Heinz-Otto Peitgen 和彼得·里希特 Peter Richter通过照片、书籍<ref>{{cite book |title=The Beauty of Fractals |last=Peitgen |first=Heinz-Otto |author2=Richter Peter |year=1986 |publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg |isbn=0-387-15851-0 |title-link=The Beauty of Fractals }}</ref>，在德国歌德学院 Goethe-Institut举办国际巡回展览等宣传方式，让曼德布洛特集进入大众的视野中，受到广泛的关注。 <ref>Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.</ref><ref>{{cite book |title=Chaos: Making a New Science |last=Gleick |first=James |year=1987 |publisher=Cardinal |location=London |pages=229 |title-link=Chaos: Making a New Science }}</ref>该封面展示了一幅以(-0.909,-0.275)为坐标的曼德布洛特集图形，该图形由Peitgen创作。<ref>{{cite magazine |title= Computer Recreations, August 1985; A computer microscope zooms in for a look at the most complex object in mathematics |last=Dewdney |first=A. K. |year=1985 |magazine=Scientific American |url=https://www.scientificamerican.com/media/inline/blog/File/Dewdney_Mandelbrot.pdf}}</ref><ref>{{cite book |title=Fractals: The Patterns of Chaos |author=John Briggs |year=1992 |page=80}}</ref> 1985年8月'''《科学美国人 Scientific American 》'''的封面文章向广大读者介绍了计算曼德布洛特集的算法。20世纪80年代中期，当个人计算机的功能变得足够强大，可以绘制图形并以高分辨率显示这些图形时，曼德布洛特集被运用到计算机图形学的图像演示中，并日益凸显了它的重要性。<ref>{{cite magazine |last=Pountain |first=Dick |date=September 1986 |title= Turbocharging Mandelbrot |url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1986-09/1986_09_BYTE_11-09_The_68000_Family#page/n370/mode/1up |magazine= [[Byte (magazine) |Byte]] |access-date=11 November 2015 }}</ref>
Adrien Douady和 John H. Hubbard 的研究工作不断取得新的成果，同时感兴趣于复杂动力学和'''抽象数学 Abstract Mathematics'''领域的队伍快速壮大，自此，深入了解曼德布洛特集一直是这些领域的核心研究。包括米哈伊尔·柳比奇 Mikhail Lyubich,<ref>{{cite journal
Adrien Douady和 John H. Hubbard 的研究工作不断取得新的成果，同时感兴趣于复杂动力学和'''抽象数学 Abstract Mathematics'''领域的队伍快速壮大，自此，深入了解曼德布洛特集一直是这些领域的核心研究。包括米哈伊尔·柳比奇 Mikhail Lyubich,<ref>{{cite journal
| pmc = 24319 | bibcode =1998PNAS...9514025L
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}}</ref> 科特·麦克马伦 Curt McMullen, 约翰·米尔诺 John Milnor,石仓光博 Mitsuhiro Shishikur和'让-克里斯托夫·约科兹 Jean-Christophe Yoccoz在内的许多人在曼德布洛特集的研究工作中，都作出了大大小小的贡献。
}}</ref> 科特·麦克马伦 Curt McMullen, 约翰·米尔诺 John Milnor,石仓光博 Mitsuhiro Shishikur和'让-克里斯托夫·约科兹 Jean-Christophe Yoccoz在内的许多人在曼德布洛特集的研究工作中，都作出了大大小小的贡献。
== 定义 ==
== 定义 ==
曼德布洛特集也可以定义为一族多项式的'''连通轨迹 Connectedness Locus'''。
曼德布洛特集也可以定义为一族多项式的'''连通轨迹 Connectedness Locus'''。
== 基本性质 ==
== 基本性质 ==
Adrien Douady和 John H. Hubbard在曼德布洛特集的补集与闭合单位圆盘（以原点为中心，以1为半径做圆）的补集之间构造了一个显式的共形同构 Conformal Isomorphism ，由此证明了曼德布洛特集是连通的。 Benoît B. Mandelbrot 最初猜测曼德布洛特集是不连通的。这是由于当时计算机程序的局限性，导致程序无法检测到所生成的曼德布洛特集图形中连接不同细部的微小连线。通过进一步的实验后，Benoît B. Mandelbrot 纠正了之前的看法，认为曼德布洛特集是连通的。
Adrien Douady和 John H. Hubbard在曼德布洛特集的补集与闭合单位圆盘（以原点为中心，以1为半径做圆）的补集之间构造了一个显式的共形同构 Conformal Isomorphism ，由此证明了曼德布洛特集是连通的。 Benoît B. Mandelbrot 最初猜测曼德布洛特集是不连通的。这是由于当时计算机程序的局限性，导致程序无法检测到所生成的曼德布洛特集图形中连接不同细部的微小连线。通过进一步的实验后，Benoît B. Mandelbrot 纠正了之前的看法，认为曼德布洛特集是连通的。
此外，'''杰里米 · 卡恩 Jeremy Kahn'''在2001年利用严格的拓扑证明，论证了曼德布洛特集的连通性。<ref>{{Cite web|url=http://www.math.brown.edu/~kahn/mconn.pdf|title=The Mandelbrot Set is Connected: a Topological Proof|last=Kahn|first=Jeremy|date=8 August 2001}}</ref>
此外，'''杰里米 · 卡恩 Jeremy Kahn'''在2001年利用严格的拓扑证明，论证了曼德布洛特集的连通性。<ref>{{Cite web|url=http://www.math.brown.edu/~kahn/mconn.pdf|title=The Mandelbrot Set is Connected: a Topological Proof|last=Kahn|first=Jeremy|date=8 August 2001}}</ref>
曼德布洛特集的分界线是'''二次族 quadratic family'''的'''分岔轨迹 bifurcation locus'''，即参数<math> c </math>在极微小的变化下会产生很突然的动力学变化。该分界线是一类多项式双曲线，可被构造成一系列平面代数曲线的极限集。 通过设置 ''p''<sub>0</sub> = ''z'', ''p''<sub>''n''+1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''z''，然后将复平面上的点集''p''<sub>''n''</sub>(''z'')| = 2 转化为实笛卡尔平面 Cartesian Plane上度为2<sup>''n''+1</sup>的在 x 和 y 上的曲线，从而对该曲线进行定义。使用下面所提及的“逃逸时间算法”计算并绘制出来的曼德布洛特集图像中也显示了该分界线。
曼德布洛特集的分界线是'''二次族 quadratic family'''的'''分岔轨迹 bifurcation locus'''，即参数<math> c </math>在极微小的变化下会产生很突然的动力学变化。该分界线是一类多项式双曲线，可被构造成一系列平面代数曲线的极限集。 通过设置 ''p''<sub>0</sub> = ''z'', ''p''<sub>''n''+1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''z''，然后将复平面上的点集''p''<sub>''n''</sub>(''z'')| = 2 转化为实笛卡尔平面 Cartesian Plane上度为2<sup>''n''+1</sup>的在 x 和 y 上的曲线，从而对该曲线进行定义。使用下面所提及的“逃逸时间算法”计算并绘制出来的曼德布洛特集图像中也显示了该分界线。
== 其他性质 ==
== 其他性质 ==
天线数目也与法雷数列图有关，由于n级法雷数列是指对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1这个序列称为n级法雷数列，以<math>F_n</math>表示。如<math>F_5</math>为：0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1。
天线数目也与法雷数列图有关，由于n级法雷数列是指对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1这个序列称为n级法雷数列，以<math>F_n</math>表示。如<math>F_5</math>为：0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1。
可得到：在曼德布洛特集中的法雷数列，其分母数量在相应的分数值内，分数值与圆盘周围的距离有关。这两个部分的分数值本身可以在<math>{\frac{1}{3}}</math>之后相加，以计算出序列中下一个双曲分量的位置。因此，在曼德尔勃特集合中可以找到1、2、3、5、8、13和21的斐波那契数列。
可得到：在曼德布洛特集中的法雷数列，其分母数量在相应的分数值内，分数值与圆盘周围的距离有关。这两个部分的分数值本身可以在<math>{\frac{1}{3}}</math>之后相加，以计算出序列中下一个双曲分量的位置。因此，在曼德尔勃特集合中可以找到1、2、3、5、8、13和21的斐波那契数列。
:点击'''[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/3/3f/Multibrot.ogv/Multibrot.ogv.480p.vp9.webm 此处]'''观看d从0到7的多重曼德布洛特集视频
:点击'''[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/3/3f/Multibrot.ogv/Multibrot.ogv.480p.vp9.webm 此处]'''观看d从0到7的多重曼德布洛特集视频
== 更高维下的曼德布洛特集 ==
== 更高维下的曼德布洛特集 ==
由于曼德布洛特集无法将复数扩展到三维来进行迭代，故曼德布洛特集不能完美的扩展到三维图形。但'''四元数 Quaternions'''的方法可将复数扩展到四维。<ref>http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf retrieved 19 August 2018</ref> 其能够将曼德布洛特集和朱利亚集成功扩展到四维，再利用投影或横切成三维。
由于曼德布洛特集无法将复数扩展到三维来进行迭代，故曼德布洛特集不能完美的扩展到三维图形。但'''四元数 Quaternions'''的方法可将复数扩展到四维。<ref>http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf retrieved 19 August 2018</ref> 其能够将曼德布洛特集和朱利亚集成功扩展到四维，再利用投影或横切成三维。
=== 其他非解析性质的映射 ===
=== 其他非解析性质的映射 ===
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==绘制曼德布洛特集==
==绘制曼德布洛特集==
要获得曼德布洛特集的彩色图像，可以使用各种函数(线性、指数等)中的一个来为执行程序所需不同的迭代次数所对应的点区域分配颜色。
要获得曼德布洛特集的彩色图像，可以使用各种函数(线性、指数等)中的一个来为执行程序所需不同的迭代次数所对应的点区域分配颜色。
==大众文化中的引用==
==大众文化中的引用==