D-分离
d-分离是一套决定准则：对于给定的因果图，决定在给定变量集合Z的情况下，变量集合X和变量集合Y是否独立[1]。
d-分离的基本思想
它的基本想法是将统计意义上的“独立性”与图论中的“分离性”（“非连通性”）联系起来。这个基本想法首先需要我们去定义在给定的有向图中给定结点集Z取值下的“激活路径”。d-分离中的“d”实际上指示了我们讨论的目标为有向图。
d-分离的定义
令[math]\displaystyle{ \mathbf{X} }[/math]，[math]\displaystyle{ \mathbf{Y} }[/math]，是图[math]\displaystyle{ \mathcal{G} }[/math]中的三个结点集合。如果在给定Z的条件下，任意[math]\displaystyle{ X \in \mathbf{X} }[/math]与[math]\displaystyle{ Y \in \mathbf{Y} }[/math]两个结点间没有激活路径，则称[math]\displaystyle{ \mathbf{X} }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathbf{Y} }[/math]是给定[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]下d-分离的，记作[math]\displaystyle{ d-sep_{\mathcal{G}(\mathbf{X}l\mathbf{Y} \mid \mathbf{Z}) } }[/math]。
将结点间的一系列独立性关系记作[math]\displaystyle{ \mathcal{I}(\mathcal{G}) }[/math]，从而可将独立性和d-分离联系起来：
[math]\displaystyle{ \mathcal{I}(\mathcal{G}) = \left\{ (\mathbf{X} \perp \!\!\! \perp \mathbf{Y} \mid \mathbf{Z}) : d-sep_{\mathcal{G}(\mathbf{X}l\mathbf{Y} \mid \mathbf{Z}) } \right\} }[/math]
d-分离的解释
激活路径的定义
假设[math]\displaystyle{ \mathcal{G} }[/math]是一个贝叶斯网络，[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]是给定的已观测变量集，我们称一条路径[math]\displaystyle{ \mathbf{X}_1 \leftrightarrow \cdots \leftrightarrow \mathbf{X}_n }[/math]是给定[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]下激活的，当且仅当：
- 当路径中出现如此形式的V-结构：[math]\displaystyle{ \mathbf{X}_{i-1} \rightarrow \mathbf{X}_{i} \leftarrow \mathbf{X}_{i+1} }[/math]时，[math]\displaystyle{ \mathbf{X}_{i} }[/math]或它的某个子孙结点在[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]中。
- 其它任何路径中的结点都不在[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]中。
根据激活路径的解释
由d-分离的定义可知，[math]\displaystyle{ d-sep_{\mathcal{G}(\mathbf{X}l\mathbf{Y} \mid \mathbf{Z}) } }[/math]实际上指的就是将所有[math]\displaystyle{ \mathbf{X} }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathbf{Y} }[/math]间的激活路径以及相应激活结点集找出，只要保证[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]中没有激活节点集中的结点，且不含[math]\displaystyle{ \mathbf{X} }[/math]与[math]\displaystyle{ \mathbf{Y} }[/math]中结点即可做到d-分离。
根据阻断路径的解释[2]
类似激活路径的定义，我们还可以定义阻断路径：
一条路径被一组结点[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]阻断，当且仅当：
- 路径中包含链结构或分叉结构，则中间结点包含在[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]中。
- 路径中包含对撞结构，则对撞结点及其子孙结点都不在[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]中。
有了阻断路径的定义，我们可以重新定义d-分离为：
如果[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]阻断了[math]\displaystyle{ \mathbf{X} }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathbf{Y} }[/math]之间的每一条路径，则称[math]\displaystyle{ \mathbf{X} }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathbf{Y} }[/math]是给定[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]下d-分离的，[math]\displaystyle{ \mathbf{X} }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathbf{Y} }[/math]在给定[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]下条件独立。
d-分离实例[3]
在此图中，T和Y是给定W下d-分离的。但当Z取空集、{W，X1}、{W，X2}等情况下，T和Y不满足d-分离条件。
d-分离算法
算法
d-分离算法的基本思路如下：
- 构造概率表达式中提到的所有变量的“有向图”，即对应的贝叶斯网络。
- 对于具有公共子代的每对变量，在它们之间绘制无向边（线）。（如果一个变量有两个以上的父母，则在每对父母之间画一条线）
- 将所有边变成无向边。
- 删除所有给定变量的节点，以及他们的边。
- 解释得到的图。
具体的算法可参考文献[4]。
代码实现
Python开源包NetworkX中包含D-Separation算法的实现。
d-分离与因果推断
相关性与因果性
d-分离实际上暗含了对相关性与因果性的区分。假设我们观测到了两个变量X、Y之间有统计相关性，为了鉴别这种相关性是否有两个变量间的直接因果关系导致，我们可以在变量对应的因果图中搜索可将X与Y作d-分离的集合Z，如果存在这样的Z，则说明X与Y可d-分离，即X与Y之间无直接因果关系，它们的相关性由共同原因导致。
Faithfulness假设
Faithfulness假设指的是从概率分布中的独立性中，我们可以推断出图中的d-分离性。Faithfulness假设常作为因果推断与因果发现算法的前提假设，更多关于Faithfulness假设的背景与讨论可见参考文献[5]。
d-分离与后门调整
后门调整是do-演算的一种特例，找出满足后门准则的变量集W，给定W即可将干预下的条件分布识别为统计意义下的含W的条件分布，从而来计算变量间的因果效应[6]。后门准则中寻找的变量集，实际上就是对结果变量Y和干预变量T之间寻找d-分离变量集Z。
参考文献
- ↑ Koller D, Friedman N. Probabilistic graphical models: principles and techniques[M]. MIT press, 2009.
- ↑ Pearl J, Glymour M, Jewell N P. Causal inference in statistics: A primer[M]. John Wiley & Sons, 2016.
- ↑ Spirtes P. Introduction to causal inference[J]. Journal of Machine Learning Research, 2010, 11(5).
- ↑ Geiger D, Verma T, Pearl J. d-separation: From theorems to algorithms[M]//Machine Intelligence and Pattern Recognition. North-Holland, 1990, 10: 139-148.
- ↑ Uhler C, Raskutti G, Bühlmann P, et al. Geometry of the faithfulness assumption in causal inference[J]. The Annals of Statistics, 2013: 436-463.
- ↑ Pearl J. Causality[M]. Cambridge university press, 2009.