Do演算

do演算的总体定义

为何需要Do演算

对后门准则、前门准则的补充

Do演算的规则集

在以下规则的表述中，使用符号[math]\displaystyle{ G_{\overline{X}} }[/math]表示删除有向图[math]\displaystyle{ G }[/math]中所有指向结点[math]\displaystyle{ X }[/math]的边后得到的子图，使用符号[math]\displaystyle{ G_{\overline{X}\underline{Z}} }[/math]表示删除有向图[math]\displaystyle{ G }[/math]中所有指向结点[math]\displaystyle{ X }[/math]的边和从结点[math]\displaystyle{ Z }[/math]指出的边后得到的子图。

规则一

增添或删除观察：

对于有向图[math]\displaystyle{ G }[/math]，若满足[math]\displaystyle{ (Y \perp\!\!\!\perp Z \mid X, W)_{G_{\overline{X}}} }[/math]（即在子图[math]\displaystyle{ G_{\overline{X}} }[/math]中，给定结点集[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ W }[/math]时，结点集[math]\displaystyle{ Y }[/math]和[math]\displaystyle{ Z }[/math]满足d-分离条件），则

[math]\displaystyle{ P(Y|do(X),Z,W)=P(Y|do(X),Z) }[/math]

规则二

交换干预和观察：

对于有向图[math]\displaystyle{ G }[/math]，若满足[math]\displaystyle{ (Y \perp\!\!\!\perp Z \mid X, W)_{G_{\overline{X}\underline{Z}}} }[/math]（即在子图[math]\displaystyle{ G_{\overline{X}\underline{Z}} }[/math]中，给定结点集[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ W }[/math]时，结点集[math]\displaystyle{ Y }[/math]和[math]\displaystyle{ Z }[/math]满足d-分离条件），则

[math]\displaystyle{ P(Y|do(X),do(Z),W)=P(Y|do(X),Z,W) }[/math]

规则三

增添或删除干预：

对于有向图[math]\displaystyle{ G }[/math]，若满足[math]\displaystyle{ (Y \perp\!\!\!\perp Z \mid X, W)_{G_{\overline{X}\underline{Z(W)}}} }[/math]（即在子图[math]\displaystyle{ G_{\overline{X}\underline{Z(W)}} }[/math]中，给定结点集[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ W }[/math]时，结点集[math]\displaystyle{ Y }[/math]和[math]\displaystyle{ Z }[/math]满足d-分离条件），则

[math]\displaystyle{ P(Y|do(X),do(Z),W)=P(Y|do(X),W) }[/math]

其中符号[math]\displaystyle{ Z(W) }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ Z / An(W)_{ G_{ \overline{X} } } }[/math] ，而符号[math]\displaystyle{ An(W)_{ G_{ \overline{X} } } }[/math] 表示在子图[math]\displaystyle{ G_{ \overline{X}} }[/math]中由结点集[math]\displaystyle{ W }[/math]及其祖先节点构成的点集。

Do演算的完备性(Completeness)

定理

[math]\displaystyle{ Q = P(y \mid do(x),z) }[/math] 是可识别的，当且仅当它可以被Do演算的三条规则转化为一个不包含Do算子的表达式。

证明

要证明上述定理的正确性，需要分别证明Do演算的可靠性(Soundness)和充分性(Sufficiency)。其中可靠性的证明由Judea Pearl于1995年给出，充分性的证明由Yimin Huang和Marco Valtorta于2006年给出。

Do演算的应用

应用案例1

应用案例1

Do演算的相关算法

算法一

算法1