ISING模型的重整化
有关于Ising模型的介绍，请参看ISING模型。在Ising模型的介绍中，我们给出了模型的模拟结果，但是，我们仍然不知道临界温度[math]\displaystyle{ T_C }[/math]是如何求出的。另外，在临界状态中，系统的热力学量呈现出一系列的标度行为，它们可以由幂指数[math]\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma,\eta }[/math]等来刻画，但是我们仍然不知道如何求出它们的数值。尽管对Ising求解有很多种方法，重整化则是这些方法中最独特的一个。它一反传统方法的讨论，即从模型的动力学性质或者统计性质出发，求出临界温度和幂律指数，而是直接从模型处于临界时候所展现出来的自相似性出发直接对模型进行重整化计算，而忽略模型的详细规则。
对于Ising模型的重整化方法主要包括：实空间的重整化和波数空间（或者叫动量空间）的重整化两种方法。前者比较直观，即从对Ising所在的空间进行不同尺度的缩放操作，从而得到模型的尺度不变性质。后者虽然比较抽象，而且依赖于Ising模型配分函数的空间积分形式，但是却可以得到比较精确，而且不依赖于粗粒化方法的解。
实空间的重整化
重整化方法的出发点是基于Ising模型在临界状态下具有广泛的不同标度之间的相似性。然而，这种自相似性具体指的是什么呢？
首先，我们需要从不同的尺度来观察Ising模型。然而，Ising模型本身就是一个N个小磁针构成的晶格系统，晶格之间的距离已经是最小尺度了，我们无法再观察更小尺度的系统。但是，我们可以从更大的尺度来观察Ising模型。这就意味着，我们需要对一些小磁针进行信息的忽略，从而获得对系统的更粗的描述。这一过程就成为“粗粒化”（Coase Graining）过程。
其次，我们应如何定义同一个Ising模型不同的尺度下的相似性呢？我们知道，Ising模型是一个包含了随机演化的动力学过程，而不是一个简单的静态图形，因此，我们并不能简单地套用分形的方法来处理Ising模型。那么，在诸多因素中，哪一个是制约Ising模型最核心的因素呢？根据统计力学，我们知道，这个核心因素就是配分函数Z(H,T)。这是因为，从配分函数出发，我们可以得到一切热力学量。
我们已知，Ising模型的稳态分布为：
[math]\displaystyle{
p(\{s_i\})=\frac{1}{Z}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT})
}[/math]
这是著名的玻尔兹曼分布，其中Z为概率归一化常数，也是H和T的函数，因此成为配分函数，它可以写为：
[math]\displaystyle{
Z(H,T)=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT})
}[/math]
通过Z(H,T)，我们可以求出一切Ising模型的热力学量。例如，配分函数对外场H求导就可以得出平均磁场强度。
[math]\displaystyle{ \frac{\partial{\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H}}=\frac{1}{Z}\sum_{\{s_i\}}{\frac{\sum_{i=1}^N {s_i}}{kT}}\exp{(-\frac{\sum_{\{s_i\}}E_{\{s_i\}}}{kT})}=\frac{\langle M\rangle}{kT} }[/math]
对H的二阶导数就是磁导率：
[math]\displaystyle{ \chi=kT\frac{\partial {^2\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H^2}} }[/math]
对温度T求二阶导数就是比热：
[math]\displaystyle{ c=-T\frac{\partial^2{\ln{Z}}}{\partial{T^2}} }[/math]
因此，只要配分函数的函数形式确定之后，系统的一切热力学性质就都确定下来了。这样，当我们说Ising模型在两个尺度彼此相似的时候，实际上是在说两个不同尺度下的配分函数形式相同。
总结来看，重整化操作实际上包含两大步骤，（1）对系统进行粗粒化，从两个不同的尺度上描述Ising模型；（2）写出两个不同尺度下的配分函数，让它们的形式彼此相同。根据这个条件，我们就可以写出重整化群方程，从而计算出我们想要的值。
一维ISING模型的重整化
一维Ising不存在临界相变点，因此重整化群方程也不能得到非平凡的解。但是，由于一维Ising模型的重整化操作简单易懂，所以我们还是先用一维模型来讨论重整化的整体思路。
首先，一维Ising形成了一条链，并且相邻的两个小磁针彼此有相互作用如下图第一行所示，其中a表示两个磁针之间的间隔。
然后，我们要对该系统进行粗粒化描述。即观察者站在更远的距离来观察这个模型，忽略了一些微观信息。具体过程如下图所示。
在图中的第一行是原始的模型，第二行是对原始模型的粗粒化，我们把小磁针两两分组，然后简单的忽略了偶数位置上的小磁针的信息，而将奇数位置的小磁针的状态值作为相邻两个小磁针作为一个粗粒化的“大磁针”的整体状态。其中某一个大磁针的状态就用[math]\displaystyle{ s_I }[/math]，它也仅仅取-1或者+1，并且数值上与奇数位置的小磁针一样。
这样，第二行所表示的新的Ising模型就是将原系统缩小b=2倍之后的粗粒化描述。为了将这个粗糙的Ising模型与原模型相比较，我们将新的模型再画到原始尺寸上（相当于又将每个小磁针的尺寸缩小了b=2倍）就得到了第三行的图。
我们猜想，当系统处于临界温度的时候，这两个不同尺度的模型应该彼此相似，也就是说它们的配分函数应该具有相同的形式。为了讨论简单，我们设外场H=0，这样原始的Ising模型的配分函数可以写成：
[math]\displaystyle{ Z(T)=\sum_{\{s_i\}}{\exp(\frac{1}{kT}\sum_{i=1}^{N}s_is_{i+1})}=\sum_{odd}\sum_{even}{\exp(\frac{1}{kT}\sum_{i=1}^{N}s_is_{i+1})} }[/math]
其中[math]\displaystyle{ \sum_{odd} }[/math]表示对所有的奇数位置的小磁针的所有可能状态组合进行求和，同理，[math]\displaystyle{ \sum_{odd} }[/math]表示对所有偶数位置的小磁针的状态组合进行取和。当我们忽略所有的奇数位置上的小磁针信息，根据统计力学，我们应该将上式中偶数小磁针部分的求和号显示地算出来：
[math]\displaystyle{ \begin{align}&Z(T)=\sum_{odd}\sum_{even}{\exp(\frac{1}{kT}\sum_{i=1}^{N}s_is_{i+1})}\\ &=\sum_{odd}\sum_{even}{\exp(\frac{1}{kT}((s_1s_2+s_2s_3)+(s_2s_3+s_3s_4)+\cdot\cdot\cdot+(s_{N-2}s_{N-1}+s_{N-1}s_{N}))}\\ &=\sum_{odd}\sum_{even}{\exp(\frac{1}{kT}(s_1s_2+s_2s_3))\cdot\cdot\cdot\exp(\frac{1}{kT}(s_{N-2}s_{N-1}+s_{N-1}s_{N})} \end{align} }[/math]
因为所有小磁针仅仅跟左右两个邻居相互作用，所以指数中的每一项可以写成相邻小磁针状态之和。然后，我们再让每一个变量[math]\displaystyle{ s_i }[/math]遍历+1和-1并将它们对配分函数的贡献求和，并且注意到：
[math]\displaystyle{ \sum_{s_i=\pm 1}\exp(\frac{1}{kT}s_i(s_{i-1}+s_{i+1}))=2 \cosh (\frac{1}{kT}(s_{i-1}+s_{i+1})) }[/math]
于是，就可以得到新尺度下Ising模型的配分函数，这样就得到了新系统的配分函数：
[math]\displaystyle{ Z'(T)=\sum_{odd}2 \cosh(\frac{1}{kT}(s_1+s_3))\cdot\cdot\cdot 2 \cosh(\frac{1}{kT}(s_{N-1}+s_N))=\sum_{\{s_I\}}2 \cosh(\frac{1}{kT}(s_1+s_3))\cdot\cdot\cdot 2 \cosh(\frac{1}{kT}(s_{N-1}+s_N)) }[/math]
其中，[math]\displaystyle{ \cosh(x)=(\exp(x)+\exp(-x))/2 }[/math]为双曲余弦函数。
我们知道，新尺度下的配分函数应该与原来的配分函数具有同样的形式，即对于任意的i有：
[math]\displaystyle{ 2 \cosh(\frac{1}{kT}(s_{i-1}+s_{i+1})=\exp(k_0+\frac{1}{kT'}s_{i-1}s_{i+1}) }[/math]
其中，[math]\displaystyle{ k_0 }[/math]和新的温度[math]\displaystyle{ T' }[/math]是待定系数，我们可以通过代入[math]\displaystyle{ s_{i-1},s_{i+1} }[/math]以特殊的值（注意它们只能取+1，-1两个可能值），利用待定系数法就可以把位置的系数[math]\displaystyle{ k_0,T' }[/math]求出来，即求解下列两个联立方程(*)：
[math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ll} 2\cosh 2 \frac{1}{kT}=\exp(k_0+\frac{1}{kT'}) & \mbox {when }s_{i-1}=s_{i+1}, \\ 2=\exp(k_0-\frac{1}{kT'}) & \mbox {when }s_{i-1}\neq s_{i+1}.\end{array}\right. }[/math]
只要参数[math]\displaystyle{ k_0,T' }[/math]满足这两个方程，我们代回到原来的粗粒化后的ISING模型的配分函数，就可以得到：
[math]\displaystyle{ Z(T)=\sum_{\{s_I\}}{\exp(\sum_{I=1}^{N/2}{k_0})}\exp(\frac{1}{kT'}\sum_{I=1}^{N/2}{s_{I}s_{I+1}})=\exp(Nk_0/2)\sum_{\{s_I\}}\exp(\frac{1}{kT'}\sum_{I=1}^{N/2}{s_{I}s_{I+1}})=\exp(Nk_0/2)Z(T') }[/math]
即：
[math]\displaystyle{ Z(T)\sim Z(T') }[/math]
也就是说两个配分函数具有相同的形式。其中，[math]\displaystyle{ \exp(Nk_0/2) }[/math]为一个比例常数，并不影响配分函数的形式，因此[math]\displaystyle{ k_0 }[/math]的数值无关紧要。而对于T'，我们可以对方程*进行进一步化简，从而得到方程：
[math]\displaystyle{ \frac{1}{kT'}=\frac{1}{2}\log (\cosh (2\frac{1}{kT})) }[/math]
对于一个无穷大（[math]\displaystyle{ \lim N\rightarrow \infty }[/math]）的一维ISING模型，我们可以反复地应用上述步骤，从而得到一个[math]\displaystyle{ T',T''\cdot\cdot\cdot,T^{(n)} }[/math]的无穷序列，并且从第s步到第s+1步的温度满足：
[math]\displaystyle{ \frac{1}{kT^{(s+1)}}=\frac{1}{2}\log (\cosh (2\frac{1}{kT^{(s)}})) }[/math]
在进行了无穷大次重整化操作以后，得到不动点(令[math]\displaystyle{ s\rightarrow \infty }[/math])：
[math]\displaystyle{ \frac{1}{kT^{*}}=\frac{1}{2}\log (\cosh (\frac{2}{kT^{*}})) }[/math]
这个方程就是温度T所要满足的重整化群不动点方程，从中求解出T*，得到唯一的稳定解：
[math]\displaystyle{ T^*=0 }[/math]
就是临界温度。因此，我们用重整化群的方法求解出了一维Ising模型的临界温度为0。但是，温度为0这一点并不是系统的相变点。但却是一维模型中的一个平凡的满足自相似性的点(因为配分函数在标度变换下保持不变)。所以，重整化群方法进行了成功的预测。
二维ISING模型的重整化
我们可以采用类似的思路对二维网格上面的Ising模型进行重整化，写出重整化群方程。但是，由于二维模型的邻域结构远比一维模型复杂，因此，重整化方法也变得复杂。我们可以按照直观的方法对空间网格进行归并，但是这样计算写出的式子非常繁琐。为了让重整化方程简单，我们不得不增加自由参数的个数（类似一维模型中的k0和T'），在二维模型中，我们需要考虑至少4个自由待定参数，即[math]\displaystyle{ K_1,K_2,K_3,K_4 }[/math]。
首先，我们对二维网格ISING模型进行粗粒化描述，见下图：
为了使得后面的计算尽量简单，我们并没有直接将二维网格划分成[math]\displaystyle{ b\times b }[/math]的大网格，而是按照上图(a)所示方法进行忽略信息。即将图(a)中的灰色方格的小磁针忽略掉，只保留白色格子的小磁针。接下来得到的图(b)就是保留下白色方格小磁针之后的ISING模型。注意原模型中的[math]\displaystyle{ s_5 }[/math]去掉了，在新模型图(b)中，小磁针1,2,3,4成为了邻居。将图(b)顺时针旋转45度，并将尺度缩小[math]\displaystyle{ 1/\sqrt(2) }[/math]就可以得到跟原模型（图(a)）一致的Ising模型。图b和c中的虚线为二维Ising模型重整化群过程引入的非近邻相互作用（参见下文）。
同样地，我们可以将原系统的配分函数写成两部分，一部分为去掉的黑色方格的，另一部分为剩下的白色格子的。另外，为了记号方便，我们记[math]\displaystyle{ K_1=\frac{1}{kT} }[/math]：
[math]\displaystyle{ Z(K_1,N)=\sum_{white}\sum_{black}\exp(K_1\sum_{\lt ij\gt }s_is_j) }[/math]
把黑色部分的求和求出来，既得到了新标度的Ising模型（图(c)）的配分函数：
[math]\displaystyle{ Z(K_1,N)=\sum_{white}\cdot\cdot\cdot 2\cosh(K_1(s_{i,1}+s_{i,2}+s_{i,3}+s_{i,4}))\cdot\cdot\cdot }[/math]
期中[math]\displaystyle{ s_{i,1},s_{i,2},s_{i,3},s_{i,4} }[/math]为第i个小磁针的上下左右4个邻居。为了让这个新的配分函数保持与原来的配分函数一致，需要引入[math]\displaystyle{ K_0',K_1',K_2',K_3' }[/math]四个待定系数使得如下方程成立：
[math]\displaystyle{ \cosh(K_1(s_{i,1}+s_{i,2}+s_{i,3}+s_{i,4}))=\exp(K_0'+\frac{K_1'}{2}(s_{i,1}s_{i,2}+s_{i,1}s_{i,4}+s_{i,2}s_{i,3}+s_{i,3}s_{i,4})+K_2'(s_{i,1}s_{i,3}+s_{i,2}s_{i,4})+K_3'(s_{i,1}s_{i,2}s_{i,3}s_{i,4})) }[/math]
我们看到，要想让新的配分函数与原来的配分函数形式相同，必须引入[math]\displaystyle{ K_0',K_1',K_2',K_3' }[/math]这四个系数，并且，1和3，2和4两组邻居也要发生相互作用（参看上图中的虚线），还要考虑四体相互作用。虽然在原模型中不存在这些相互作用，但是在重整化的时候，它们必须引入，否则我们无法写出重整化方程。进一步，利用待定系数法可以求出这8个系数与[math]\displaystyle{ K_1 }[/math]的关系(**)：
在其中，我们主要关心参数[math]\displaystyle{ K_1' }[/math]，因为只有它与温度有关，经过一系列计算和近似，我们可以写出该参数的重整化群不动点方程：
[math]\displaystyle{ K_1^{(s+1)}=\frac{3}{8}\log(\cosh 4 K_1^{(s)}) }[/math]
求解这个方程的迭代不动点，我们得到了一个非0解：[math]\displaystyle{ K_1^{*}=0.507 }[/math]，这是一个非平凡的不动点。因此，我们通过[math]\displaystyle{ K_1=\frac{1}{kT^{*}} }[/math]得到了二维Ising模型的临界温度。
Wilson的重整化群理论
上面讨论了一维和二维ISING模型的重整化方法，其中用到的粗粒化操作和重整化方程显得过于任意。尤其是对于二维Ising模型进行重整化，为了得到合理的重整化的配分函数，必须引入次近邻的相互作用，而这种相互作用在原始的模型中是不存在的。
为了避免这个矛盾，Wilson首先提出了广义的Ising模型，其中，次近邻、次次近邻相互作用在原始模型中都是允许的。其次，Wilson讨论了更一般的对于广义ISING模型的重整化操作，和广义的重整化群方程。这种重整化并不牵扯到具体的粗粒化方法，因此是一种高度的概括。但是，在这种抽象的重整化操作下，我们还能计算出各种热力学变量随温度幂律变化的幂指数。总之，Wilson为重整化群操作奠定了坚实的数学基础。
Wilson重整化方法的核心观点是，首先，针对广义的Ising模型，我们用一个参数向量[math]\displaystyle{ (K_0,K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot) }[/math]来刻画，这是最广义的Ising模型，它包含了近邻、次近邻、三体、四体等等各种相互作用。其次，Wilson讨论一般的重整化算符R，把它反复应用在Ising模型上，就得到了广义参数空间[math]\displaystyle{ (K_0,K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot) }[/math]中的一个重整化流。而这个重整化流的最终吸引子就是临界点（对应临界参数K*）。最后，将重整化算子R在临界点K*附近泰勒展开，就可以把R进行线性化，而线性化算子的特征根的对数就对应了相关的临界指数，而特征向量就是重整化操作中重要的参数。
广义的ISING模型
广义的Ising允许次近邻相互作用、三体相互作用、四体相互作用……。也就是说，广义Ising模型的能量可以写成如下的形式：
[math]\displaystyle{ E_{\{s_i\}}=-kT (K_0+K_1 \sum_{neighbors}s_i s_j+K_2 \sum_{nnn}s_i s_j + \cdot\cdot\cdot+ K_3 \sum_{three}s_is_js_k+\cdot\cdot\cdot ) }[/math]
其中nnn表示次近邻（next nearest neighbors），three表示任意的三体相互作用。因此，广义Ising模型就由一组参数（构成了一个向量）来刻画：
[math]\displaystyle{ K=\{K_0,K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot\} }[/math]
这种广义模型当然涵盖了原始的Ising模型，只要令相应的次近邻相互作用、三体相互作用、四体相互作用等系数为0就可以了。
重整化群算符
所谓的重整化群操作实际上就是通过两个不同的尺度来刻画系统，并且让它们的配分函数保持形式不变。假设我们对原始模型放大尺度[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]倍，我们通过原始模型的配分函数，求和掉忽略的小磁针状态，而得到新的尺度[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]下的Ising模型。假设原始的模型和新尺度下的模型分别可以用参数向量[math]\displaystyle{ {K},{K'} }[/math]来刻画，为了保证两个尺度的配分函数形式不变，我们会得到这两个参数向量的重整化方程：
[math]\displaystyle{ K'=R_{b_1}(K) }[/math]
其中，[math]\displaystyle{ R_{b_1} }[/math]就是一个广义的重整化算符。例如在一维模型中，这个算符写成（*）式，在二维模型中，这个算符就是(**)对应的映射。实际上，只要我们按照恰当的方法进行粗粒化操作，都可以表达成广义的算符R。
接下来，我们还可以反复地将系统扩大[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]倍[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]倍等等。这就相当于我们得到了一系列参数向量：
[math]\displaystyle{ K''=R_{b_2}(K')=R_{b_2b_1}(K), }[/math] [math]\displaystyle{ K'''=R_{b_3}(K'')=R_{b_3b_2}(K')=R_{b_3b_2b_1}(K) }[/math]
等等。同时，我们知道将一个系统放大[math]\displaystyle{ b_2 b_3 }[/math]与先放大[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]，再放大[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]倍没有区别，也就是重整化算符满足：
[math]\displaystyle{ R_{b_2 b_3}=R_{b_3}R_{b_2} }[/math]
所以，R构成了一个单参数化的半群，也叫重整化群。
重整化流
其次，对同一个Ising模型上反复做重整化就会得到一系列的参数：
[math]\displaystyle{ K\rightarrow K'\rightarrow K''\rightarrow K'''\cdot\cdot\cdot }[/math]
这在参数空间中构成了一个重整化流，如下图：
图中所示的折线就表示重整化流构成的参数空间中的轨迹。这个轨迹可能最终会收敛到一个不动点[math]\displaystyle{ K^* }[/math]（图中红色点所示）。当到达不动点的时候，系统处于临界状态。因此，所谓的临界状态就是重整化操作的一个不动点。即一个特殊的参数向量K*，满足：
[math]\displaystyle{ K^*=R(K^*) }[/math]
普适类
更有趣的是，由于[math]\displaystyle{ K^* }[/math]是吸引子，所以参数空间中的其他参数点在重整化群操作下也有可能会收敛到K*点。这些最终可能被吸收到K*的所有参数点集合就构成了一个普适类(universality class)。如上图中曲面就是这个集合，以这些参数组合为基本参数的Ising模型经过相同的一系列重整化算符R操作，都会收敛到K*点，所以这些Ising模型就都属于同一种普适类。
除了四方网格的Ising模型以外，还有三角划分的Ising模型、六角格的Ising模型等，它们都属于同一个普适类，并且这些Ising模型具有同样的临界温度，同样的普适类幂指数（例如[math]\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma }[/math]等）。
临界指数
我们下面来对重整化算符R做线性近似。首先我们可以将算子R在不动点K*附近做泰勒展开：
[math]\displaystyle{ R(K)=R(K^*)+\frac{\partial{R}}{\partial{K}}\delta K+O(\delta K^2) }[/math]
另一方面，我们可以把R(K)写成：
[math]\displaystyle{ R(K)=K'=K^*+\delta K' }[/math]
因为K*是不动点，所以：
[math]\displaystyle{ R(K^*)=K^* }[/math]
这样代入上两式就有：
[math]\displaystyle{ \delta K'=L_R\delta K+O(\delta K^2) }[/math]
其中，[math]\displaystyle{ L_R=\frac{\partial{R}}{\partial{K}} }[/math]为R在K*点附近的的线性化算子，如果忽略二阶小项就有：
[math]\displaystyle{ \delta K'=L_R\delta K }[/math]
所以：
[math]\displaystyle{ (L_R)_{ij}=\frac{\partial_i K_i'}{\partial_j K_j} }[/math]
我们知道[math]\displaystyle{ L_R }[/math]是一个线性化算子，而所有的线性化算子都有特征值[math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\cdot\cdot\cdot,\lambda_l }[/math]和特征向量[math]\displaystyle{ (\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdot\cdot\cdot,\mathbf{v_l}) }[/math]。[math]\displaystyle{ L_R }[/math]的特征向量就张出了参数空间K中的一组基（其中l为维数）。在这组基中，线性化算子[math]\displaystyle{ L_R }[/math]可以写成对角阵：
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \cdot & \\ & & & \lambda_l\\ \end{bmatrix} }[/math]
这样，方程[math]\displaystyle{ \delta K'=L_R\delta K }[/math]可以在特征向量张成的空间中写成：
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \Delta K_1'\\\Delta K_2'\\\cdot\cdot\cdot\\\Delta K_l' \end{bmatrix}_{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \cdot & \\ & & & \lambda_l\\ \end{bmatrix}_{\mathbf{v}} \begin{bmatrix} \Delta K_1\\\Delta K_2\\\cdot\cdot\cdot\\\Delta K_l \end{bmatrix}_{\mathbf{v}} }[/math]
其中[math]\displaystyle{ \Delta K=K-K_C }[/math]，即相关参数与临界值之差。这样，我们就可以得到l个相互独立的方程，其中任意一个可以写为：
[math]\displaystyle{ \Delta K_i'=\lambda_i\Delta K_i }[/math]
我们知道算符R满足性质[math]\displaystyle{ R(b_1)R(b_2)=R(b_1b_2) }[/math]，所以线性化算符也应该满足[math]\displaystyle{ L_R(b_1)L_R(b_2)=L_R(b_1b_2) }[/math]，转到特征向量空间下，就要求任意特征值也应该满足：
[math]\displaystyle{ \lambda_i(b_1)\lambda_i(b_2)=\lambda_i(b_1b_2) }[/math]
其中[math]\displaystyle{ \lambda_i(b) }[/math]是关于任意正数b的函数，而满足这个关系的函数只有幂律函数，所以
[math]\displaystyle{ \lambda_i(b)=b^{y_i} }[/math]
其中[math]\displaystyle{ y_i }[/math]就是对应特征根的幂律指数。代入到[math]\displaystyle{ \Delta K_i'=\lambda_i(b)\Delta K_i }[/math] 中就得到：
[math]\displaystyle{ \Delta K_i'=b^{y_i}\Delta K_i }[/math]
我们对系统做s次相同尺度b的重整化操作，就相当于在特征向量方向上参数扩大[math]\displaystyle{ (b^{y_i})^s }[/math]倍，而这有三种可能性：
- 当[math]\displaystyle{ b^{y_i}\gt 1 }[/math]，则最终得到的[math]\displaystyle{ \Delta K_i' }[/math]会大于0，这样的参数[math]\displaystyle{ K_i }[/math]我们叫做相关的(relevant)；
- 当[math]\displaystyle{ b^{y_i}\lt 1 }[/math]，则经过s次乘方后[math]\displaystyle{ \Delta K_i' }[/math]会趋近于0，这样的参数[math]\displaystyle{ K_i }[/math]叫做不相关的(Irrelevant)；
- 当[math]\displaystyle{ b^{y_i}=1 }[/math]，则经过s次乘方后[math]\displaystyle{ \Delta K_i' }[/math]会=1，这样的参数[math]\displaystyle{ K_i }[/math]叫做边界的（Marginal）。
也就是说，在连续进行重整化操作的时候，只有那些相关的参数会逐渐被放大，对系统的行为起到主导作用。因此相应的相关参数的临界指数[math]\displaystyle{ y_i }[/math]刻画了系统在重整化过程中的行为本质。
以上的讨论都是针对一般的重整化操作而谈的。当我们回到Ising模型，就会发现，实际的相关参数只有温度T和外场H。于是，在重整化过程中，有：
[math]\displaystyle{ T'-T_C=b^{y_t} (T-T_C), H'-H_C=b^{y_h} (H-H_C) }[/math]
所以两个临界指数[math]\displaystyle{ y_t,y_h }[/math]刻画了系统在临界态附近的特征。再将上述关系代入到配分函数中，我们就可以得到，随着重整化操作：
[math]\displaystyle{ \log Z(T',H')=b^{-d}\log Z(b^{y_t}(T-T_C),b^{y_h}(H-H_C)) }[/math]
其中d为Ising模型所在空间的维度。这样，我们只需要对配分函数求各个参数(T,H)的导数就能得到其它热力学量，从而给出那些热力学量的临界指数(参看ISING模型)与指数[math]\displaystyle{ y_t,y_h }[/math]的关系：
[math]\displaystyle{
\alpha=2-\frac{d}{y_t},
\beta=\frac{d-y_h}{y_t},
\gamma=\frac{2y_h-d}{y_t},
\eta=d+2-2y_h,
\nu=\frac{1}{y_t}
}[/math]
至此，重整化群给出了所有临界幂律行为一个合理的解释。
波数空间的重整化
前面我们已经讨论过了Ising模型在实空间中的重整化(Real Space Renormalization)。但是重整化中的粗粒化操作显得过于任意。虽然Wilson的重整化群理论克服了这一困难，但是由于牵涉到了无穷维的参数空间，所以重整化算符很难写出具体的表达形式。基于这种考虑，我们在此将介绍一种新的重整化的方法，它不是在直观的实空间中做的，而是在抽象的实空间的傅立叶变换空间（波数空间）中做重整化。这样的重整化过程比较具体，没有过多的任意性。但是本质思想是与实空间的重整化一致的。
具体思路是这样：首先，我们需要把配分函数写成函数积分的形式（路径积分）。在此过程中，我们将Ising模型变换到了一个抽象的场[math]\displaystyle{ \phi }[/math]，这个场是在实空间下的。其次，我们将对[math]\displaystyle{ \phi }[/math]做傅立叶变换，变换到波数空间k下面。于是，配分函数就可以写成波数空间下的积分形式，且积分的上限是无穷大。再次，我们对波数空间下的配分函数的积分范围进行截断，即积分上限近似到[math]\displaystyle{ \Lambda }[/math]。然后，对波数空间的积分变量进行重标度，即让[math]\displaystyle{ k'=k/b }[/math]，从而可以把原配分函数的积分形式分为两部分。积分掉波数比较大的部分，得到了重整化的新的配分函数的积分形式Z'。最后，要让Z'和原始的Z形式一致，从而列出关于Z中各参数的重整化群方程，求出不动点和临界指数。
Ginzburg Landau方程
首先，我们考虑无穷大空间中的ISING模型，离散的小磁针[math]\displaystyle{ s_i }[/math]就变成了一个连续的场[math]\displaystyle{ s(x) }[/math]。在这种情况下，ISING模型中的配分函数可以变换成这样一种积分的形式：
[math]\displaystyle{ Z=\int D\phi \exp(-\frac{1}{kT}\int dx L(\phi(x))) }[/math]
其中，场[math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math]表示每个小磁针的涨落，它的均值刚好就是第i个小磁针的平均磁矩。L为关于[math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math]的表达式（省略具体形式）。这个方程就称为Ginzburg Landau方程：http://en.wikipedia.org/wiki/Ginzburg%E2%80%93Landau_equation。
傅立叶变换
接下来，我们对[math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math]做傅立叶变换：
[math]\displaystyle{ \phi(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)\exp(-ixk)dk }[/math]
其中k为波数，场[math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math]变换成了波数空间中的场[math]\displaystyle{ \phi(k) }[/math]。这样，原配分函数就可以写成：
[math]\displaystyle{ Z=\int D\phi \exp(-\frac{1}{kT}\int_0^{+\infty} dk L(\phi(k))) }[/math]
[math]\displaystyle{ L(\phi(k)) }[/math]为相应的傅立叶变换结果。现在积分区间上限到无穷大，我们将对k的积分进行截断到[math]\displaystyle{ \Lambda }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_0^{\Lambda} dk L(\phi(k))\doteq S }[/math]
在波数空间中[math]\displaystyle{ \Lambda }[/math]相当于高频的上限，考虑到傅立叶变换中两个空间存在着分辨率和上限的关系，高频上限对应在实空间中就是空间的最小分辨率。
波数空间的缩放
下面，我们把积分S分成两部分：
[math]\displaystyle{ S=\int_0^{+\Lambda} dk L(\phi(k))=\int_0^{\Lambda/b} dk L(\phi(k))+\int_{\Lambda/b}^{\Lambda} dk L(\phi(k)) }[/math]
其中，b为波数缩小的倍数。傅立叶变换理论指出，对波数缩小b倍，相当于对空间放大b倍，所以，这里的积分截断相当于作了空间上的放大操作。
粗粒化
接下来我们把S积分中的第二部分积出来，这相当于使空间中的粗粒化操作，将忽略信息的那部分小磁针对应的配分函数求和掉：
[math]\displaystyle{ S=\int_0^{\Lambda/b} dk L(\phi(k))+\int_{\Lambda/b}^{\Lambda} L(\phi(k)) dk=\int_0^{\Lambda/b} L(\phi(k))dk+g(L(\phi))=\int_0^{\Lambda/b} L'(\phi)dk }[/math]
其中[math]\displaystyle{ g(L(\phi)) }[/math]是第二部分积分的结果，为常数，因此又可以合并到前面的积分中去，记为[math]\displaystyle{ L'=L(\phi(k))+\frac{b}{\Lambda}g(L(\phi)) }[/math]。
重整化方程
对积分S做变量替换[math]\displaystyle{ k'=bk }[/math]，又可以写为： [math]\displaystyle{ S=\int_0^{\Lambda}L'(\phi(k'))dk' }[/math]
这样这个积分就与原始的积分 [math]\displaystyle{ S=\int_0^{\Lambda}L(\phi(k))dk }[/math]有了完全相同的形式。从而比较两个函数L和L'，我们就能写出配分函数中各个系数的重整化方程：
[math]\displaystyle{ K'=R(K) }[/math]
从而求得不动点（临界参数），线性化为重整化群，求得各种临界指数。
由此，我们看到，波数空间中的重整化与实空间中的重整化异曲同工。然而，波数空间中的重整化利用积分的分解来完成粗粒化操作，比实空间更严格。然而，由于波数空间与实空间被傅利叶变换联系，所以这两种形成一种对偶的关系。
参考文献
本文写作主要参考以及模拟曲线来源于这本书： Christen, Kim (2006). 复杂性和临界状态. 复旦大学出版社. ISBN 9787309052022.
Kopietz, P.; Bartosch, L.; Schutz, F. (2010). Introduction to the Functional Renormalization Group. Springer. ISBN 978-3-642-05093-0.