可忽略性

可忽略性 ignorability（无混淆性 Unconfoundedness是指给定一些协变量后，处理变量与潜在结果独立。如果观察性研究满足无混淆性，那么就可以识别出因果作用。在统计学中，可忽略性是实验设计的一种特征，即数据收集方式（以及缺失数据的性质）不依赖于缺失数据。若在给定已观测数据的条件下，表示哪些变量被观测到或缺失的缺失数据指示矩阵与缺失数据独立，则称该数据缺失机制（例如处理分配或抽样调查策略）是“可忽略的”。

这个想法是20世纪70年代早期Donald Rubin和Paul Rosenbaum 合作提出的鲁宾因果推理模型 Rubin Causal Model的一部分。但那时，他们文章中可忽略性的确切定义不同。1978年Donald Rubin在一篇文章中讨论了可忽略性的分配机制 ,其可理解为将个体分配到处理组的方式与数据分析无关，因为已经记录了有关该个体的所有信息。后来，在 1983 年，Donald Rubin和 Rosenbaum 提出了强可忽略分配机制，即给定足够多的基线协变量后潜在结果的联合值与分配独立：

[math]\displaystyle{ (Y(0),Y(1))\perp W|X }[/math]

其中[math]\displaystyle{ Y(0) }[/math]和[math]\displaystyle{ Y(1) }[/math]是两个潜在结果，W是处理分配，X是协变量。类似地，还有弱可忽略分配机制，只需：[math]\displaystyle{ Y(w)\perp W|X }[/math]

对[math]\displaystyle{ w=0和1 }[/math]成立。可忽略性也是缺失数据分析中的常见假设。

定义倾向性得分[math]\displaystyle{ e(x)=P(W=1|X=x) }[/math]，用以表示个体被分配到处理组的概率，可以证明，当无混淆性成立时，[math]\displaystyle{ (Y(0),Y(1))\perp W|e(X) }[/math]因此只需要控制一个一维变量，就能实现潜在结果与处理分配相互独立。

可忽略性是因果推断的基础，当可忽略性成立时，平均因果作用可以识别。

[math]\displaystyle{ E[Y(w)]=E\left \{ E[Y(w)|X] \right \}=E\left \{E[Y(w)|X,W=w] \right \}=E\left \{ E[Y|X,W=w] \right \} }[/math]

平均因果作用的估计方法包括逆概率加权、回归、匹配等一系列方法，甚至可以构造双稳健的估计方法，使得只要倾向得分模型或回归模型之一设定正确，就能得到平均因果作用的相合估计。

由于可忽略性涉及潜在结果，因此不可检验。Donald Rubin提出了几种间接验证可忽略性的方法，包括伪结局、伪处理方法，以及基于子集可忽略性的方法。Rosenbaum针对可忽略性提出了敏感性分析。

Judea Pearl提出用后门准则来判断可忽略性。在有向无环图中，如果控制一组条件变量，处理变量和结果变量的所有后门路径被阻断，则可忽略性成立。然而，实际上基于有向无环图判断可忽略性的做法并不严格。Thomas Richardson和James Robins曾提出单一世界干预图（SWIG），可将处理分配变量、干预值和潜在结果表现在因果图上。在单一世界干预图中，处理分配变量和干预值被阻断，通过检查处理分配变量与潜在结果的后门是否被阻断，可以更严格地判断可忽略性。

定义

可忽略性（或无混淆性）的简明含义是，当涉及潜在结果（Y）时，我们可以忽略一个人是怎样最终处于一个群体中，而非另一个群体中(“处理组”Tx = 1，或“控制组”Tx = 0）。它也被称为无混淆杂性、基于可观测变量的选择或无遗漏变量偏差。

其数学形式可记为：[Y_i1, Y_i0] ⊥ Tx_i ；或者用文字表述为：个体“i”是否接受处理的潜在结果Y并不取决于他们是否真的（可观测到的）接受处理。换句话说，个体最终是通过什么方式处于一种与另一种处理状态我们是可忽略的，并将其潜在结果视为等价可交换的。 虽然这看起来很复杂，但如果用下标表示“已实现”的真实处理状态，用上标表示“理想”（潜在）世界的处理状态，就会变得很清楚。（符号的提出可参考David Freedman；可视化帮助文档可参考：potential outcomes simplified）。

所以，如果个体接受处理（上角标为 ¹），其对应的潜在结果Y为Y₁¹/*Y₀¹，实际上它们可观测的结果是（Y₁¹, 下角标也为 ₁） ，而不是*Y₀¹。注意：* 表示这个值是无法获取或不可观测的，即完全与事实相反或称为反事实 counterfactual（CF）。

同样，如果个体未接受处理（上角标为 ⁰）, 其对应的潜在结果Y为*Y₁⁰/Y₀⁰。在现实中它们是（Y₀⁰），而不是（*Y₁⁰）。

对于相同的处理分配条件，每个潜在结果果(PO)中只有一个是实际发生可观测的，而另一个不会发生也无法观测，所以当我们尝试估计处理效应时，需要用可观测值(或估计值)来替代无法观测的反事实结果。当可忽略性/外生性成立时，例如个体是否接受处理是随机的，此时可利用已观测的 Y₁¹'替换'*Y₀¹，利用已观测的 Y₀⁰'替换'*Y₁⁰，不是个人层面的Y_i，而是从平均角度出发，如 E[Y_i¹ – Y_i⁰ ]，这正是大家尝试获取的因果处理效应（TE）。

由于“一致性准则 consistency rule”，潜在结果可利用实际观测值表示：Y_i⁰ = Y_i0⁰ ； Y_i¹ = Y_i1¹（“一致性准则指出，个体的潜在结果正是该个体的实际产生结果 p. 872)。 所以，TE = E[Y_i¹ – Y_i⁰] = E[Y_i1¹ – Y_i0⁰]。

现在，我们通过简单的加减相同的完全反事实量 *Y₁⁰ 得到:

E[Y_i1¹ – Y_i0⁰] = E[Y_i1¹ –*Y₁⁰ +*Y₁⁰ - Y_i0⁰] = E[Y_i1¹ –*Y₁⁰] + E[*Y₁⁰ - Y_i0⁰] = ATT + {选择性偏差},

其中，第一项 ATT = 处理组的平均处理效应，第二项是当个体可选择属于“处理”组或“控制”组而非完全随机分配时引入的偏差。

无论是普通的还是在给定一些变量条件下的可忽略性，都意味着这种选择偏差可以被忽略或消除，因此人们可以得到（或估计）因果效应。

参考文献

• Donald, Rubin (1978). "Bayesian Inference for Causal Effects: The Role of Randomization". The Annals of Statistics. 6(1): 34–58. doi:10.1214/aos/1176344064.
• Donald B., Rubin; Paul R., Rosenbaum (1983). "The Central Role of the Propensity Score in Observational Studies for Causal Effects". Biometrika. 70(1): 41–55. arXiv:1109.2143. doi:10.2307/2335942.
• Teppei, Yamamoto (1983). "The Central Role of the Propensity Score in Observational Studies for Causal Effects". Journal of Political Science. 56 (1): 237–256. doi:10.1111/j.1540-5907.2011.00539.x.
• Judea, Pearl (2010). "On the consistency rule in causal inference: axiom, definition, assumption, or theorem?". Epidemiology. 21 (6): 872–875. doi:10.1097/EDE.0b013e3181f5d3fd.
• Kosuke, Imai (2006). "Misunderstandings between experimentalists and observationalists about causal inference". Epidemiology. 171 (2): 481–502. doi:10.1111/j.1467-985X.2007.00527.x.

推荐阅读

• Gelman, Andrew; Carlin, John B.; Stern, Hal S.; Rubin, Donald B. (2004). Bayesian Data Analysis. New York: Chapman & Hall/CRC. 

• Pearl, Judea (2000). Causality: Models, Reasoning, and Inference. Cambridge University Press. https://archive.org/details/causalitymodelsr0000pear. 

• Jaeger, Manfred (2011). "Ignorability in Statistical and Probabilistic Inference". Journal of Artificial Intelligence Research. 24: 889–917. arXiv:1109.2143. Bibcode:2011arXiv1109.2143J. doi:10.1613/jair.1657.

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