工具变量
工具变量是指与处理直接相关、与混杂变量独立并且与结局没有直接因果关系的变量。工具变量方法是在观察性研究中估计因果作用的一种常用方法。
工具变量是与do演算不同的联系干预层和观测层的一种方法，它通过在观测层模拟随机控制试验来得到干预层的信息，从而实现因果效应估计，它在计量经济学、流行病学中被普遍应用。尽管do演算能够计算出所有可识别的因果效应，但是对于不可识别的情况，do演算无法把干预层表达式变形为观测层表达式。此时，如果满足一定条件，工具变量也许可以发挥作用[1][2]。
"它能帮助我们揭示do演算无法揭示的因果信息"。[3]——Judea Pearl
"虽然关于工具变量集的识别问题超越了do演算的应用范畴，但我们仍然可以借助因果图来解决这个问题"。[3]——Judea Pearl
工具变量概念
工具变量假定
如图所示，当我们在研究干预变量（治疗变量）对于结果变量的影响时，如果干预变量和结果变量存在不可观测的共同原因，那么干预变量对于结果变量的因果效应是不可识别的。此时，可以通过随机对照实验去混杂，可以引入干预变量和结果变量之间可观测的中介变量去混杂，当满足下列条件时，也可以通过其他变量（工具变量）去混杂：
假设1：相关性（Relevance）
存在工具变量指向干预变量的因果箭头
假设2：排除限制（Exclusion Restriction）
工具变量对于结果变量的因果效应完全以治疗变量为中介
假设3：工具变量无混杂（Instrumental Unconfoundedness）
工具变量与混杂因子之间不存在因果箭头
通常还会有因果机制线性或单调性假设。
应用案例
1853-1854年，英格兰爆发了霍乱疫情。霍乱是一种由霍乱细菌引起，主要通过水源传播的疾病，但是当时，人们此一无所知，一种具有竞争力的观点认为霍乱是由某种不可观测的“瘴气”引起该疾病，而且“瘴气”会污染水源。John Snow研究的是水源对于霍乱的影响，“瘴气”是混杂因子，供水公司是工具变量，但他并非有意识的使用工具变量。
1928年，遗传学家Sewall Green Wright的父亲经济学家Philippe Wright写的论文讨论亚麻籽油供给的弹性问题，即研究供应对价格的影响和价格对供应的影响，需求是混淆因子，他引入了亚麻籽每英亩的可变产量作为工具变量。
在临床试验的未履行问题（noncompliance）中，消胆胺服用是干预变量，胆固醇水平是结果变量，药物分配是工具变量，混杂因子可能是身体状况等。
孟德尔随机化是工具变量的另一种衍生版本。
IV 估计法的基本思想
从一个最简单的回归模型引入工具变量估计法。如下式（1）所示：
y = βx+u（1）
假设y度量的是收入， x度量的是受教育的年数， u为随机误差项。简单回归模型（1）假设 x与随机误差项u不相关。x 对y的唯一直接影响是通过βx带来的，如下图（1）所示：
随机误差项u包括了除受教育年数之外的所有其他未观测到的影响收入的因素，能力 的因素包括在 u 中，因为 能力 的高低与 收入 (y) 具有相关性（一般的，能力高的人收入会高）。但同时 能力 的高低与 受教育年数 (x) 也具有相关性（一般的，能力高的人倾向于接受更多的教育或技能培训），如下图（2）所示：
在模型（1）中我们遗漏了 能力 这个重要变量，在这种情况下，OLS 估计量β<~>就不是β的一致估计量，因为β<~>包括了两部分的影响效果：一部分 是我们期望得到的受教育年数对收入的直接影响，另一部分 是来自于能力的间接影响，例如，能力高的人通常会有较高的受教育年数，从而有较高的收入。如果受教育时间增加 1 年与年收入增加 1,000 美元相关，我们就不能确定增加的 1,000 美元当中有多少是来自于 受教育年数多的影响，有多少是来自于 能力高 的影响。
我们可以使用工具变量估计法解决上述内生性问题。引入一个新的工具变量z ，它具有以下性质：z的变化与x的变化相关；除了 z会间接的通过影响 x来影响 y之外，z 的变化不会导致y 的变化。例如，与大学相邻 (z) 可能会决定是否上大学，从而影响受教育年数 (x)，但并不直接决定收入 (y)。如下图3所示：
当 x的工具变量 z满足以下条件时，IV 估计量 β<^>_iv是一致估计量： （1）z 与 x 相关； （2）z 与 u 不相关。
IV 估计式
在一般形式的回归模型（2）中（以矩阵形式表示）：
y = Xβ+u
X是由解释变量构成的 N×k 维矩阵， β是系数向量。定义一个矩阵 Z（z_1,z_2,....z_k）与X(x_1,x_2,....x_k) 有着相同的维度，作为X的工具变量，将（2）式两端同乘以矩阵Z' ，则有：
Z'y = Z'Xβ+Z'u
工具变量 Z与u 不相关，意味着当 N趋于无穷大时 1/N(Z'u) 的概率极限为 0。因此，我们可以从下式中定义出 IV 估计量β<^>_iv ：
Z'y = Z'Xβ<^>_iv
β<^>_iv = (Z'X)^(-1)Z'y
IV 估计量的一种有趣的情况是：如果零条件均值假设满足，每一个解释变量都可以做为自己的工具变量，即 X=Z，此时，IV 估计量就缩减为 OLS 估计量。因此，当零条件均值假设满足时，OLS 估计量是 IV 估计量的一种特殊情形。
代码实现
DAGitty：www.dagitty.net/dags.html
BayesiaLab：www.bayesia.com
参考文献
- ↑ https://cosx.org/2013/08/causality6-instrumental-variable
- ↑ 苗旺，刘春辰，耿直 (2018) 因果作用与因果网络. 中国科学-数学, 48, 1753-1778.
- ↑ 3.0 3.1 Pearl, Judea, and Dana Mackenzie. The book of why: the new science of cause and effect. Basic books, 2018.
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