计算力学

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正文是对http://arxiv.org/abs/cond-mat/9907176v2文章的翻译

标题

计算力学:班图和预测,结构和简化

Cosma Rohilla Shalizi∗ 和 James P. Crutchfield

圣塔菲研究所,1399 Hyde 公园路,圣塔菲,NM 87501

电子邮箱地址:{shalizi,chaos}@santafe.edu

(2008年2月1日)

摘要


计算力学是一种方法,用来结构化复杂性,定义一个过程的因果态,并给出一个找出它们的步骤。我们展示了因果态的表示-一个ε机制-拥有最小复杂度的同时又能拥有最准确预测能力。我们在ε机制优化和识别上,以及如何将ε机制同其他表征相比较上,建立了几个结果。更多结果是关于测量从ε机制到一些遍历及信息理论获得的随机性和结构复杂度。

圣塔菲研究所 研究论文 99-07-044

关键字:复杂性,计算,熵,信息,斑图,统计力学 页眉:计算力学

目录

简介

斑图

在奥卡姆水池周边填充

计算力学

优化和标识

极限

结论备注

附录

参考文献

名词术语

有组织的物质在自然界中是广泛存在的,物理学的分支应该可以处理它-统计力学-只是缺乏一致性,原则性的方式去描述,测量,以及检测这么多自然展示出来的不同结构。

以下是个人的一些整理

因果态和计算力学中存在大量的大S,小s,和花S等符号。对于有些人,这些符号理解起来有些困难,因为很多人一生就从事某几种职业,轨迹就那么多。或许形成了一个组织,才是一个大S,而个体就是小s了。花S可能就是互相促进的一些道路吧。

因果态定义


这是一个恒等式,左侧是符号,右集是幂集的内容,具体解析如下:

因果态定义公式解析.png

上述的因果态公式可以看成是这定义,我们也可以去可以根据这个定义,去寻找满足条件的s。条件就是两个概率要相等。

因果态定义参数和结果.png

上式是因果态的定义,以及对这个定义式的一些简单的认识。我们可以认为是从随机过程计算力学的随机过程.png定义出因果态,花体的第i个因果态符号.png代表第i个因果态,所有因果态用所有因果态符号.png来表示。

计算力学除了因果态ε外,还有另一半就是状态转移:

状态转移定义.png

这个定义看上去不太直观,我们附上文字的内容

状态转移定义的个人解析1.png

薛老师是读书会的主讲人,讨论了满足这个定义的存在性。因果态的一个理解是,给定一段历史,有一个对将来的预测,它后续历史也有一个对将来的预测,预测的两个概率要相等。个人理解存在性可能需要用更深层的理论证明。

这里只是因果态的定义,在因果态结合状态转移才形成“计算力学”的ε机制。

因果态和状态转移有序组构成了ε机制

伊普西隆机器的定义.png

也可以用所有因果态和转换表示

伊普西隆机器的另一种表示.png

至此,我们完成了“计算力学”的主要定义。

我们一般将随机过程看成是线条状的,但不知为何在论文中它可以形成一个“面”,然后可以被划分成不同的“部分”。令人想到的是蛋白质的折叠,不知到这两者是否有关系。

从个人视角出发,历史是一天天形成的轨迹,有两点一线,也有新的突破。最初对能折叠历史的印象,会是一种分形结构:

过程的最初印象.png

这种绕曲的结构如何形成水池和做划分的呢?需要请教大家。文章中的引文【90】和【91】有提到“来自时间序列的几何形状”,里面可能有相应的方法,引文【92】从数据序列估计最小动态等式,也有可能涉及。

文章中的“过程(Process)”是位于“整体(Ensemble)”空间的,所以这种最初印象可能不正确。

在文章中找到了原始的定义

过程严格定义的一种想法.png

Ω是AZ的无限序列,这里Z是A的上标,是表示幂集吗?如果是,Ω等于一个幂集,这其中发生了什么?让我们再回顾下这个过程,A加上标Z变成幂集,然后赋给Ω,Ω经过Ti的映射又变回A',此A非彼A'?

期待大家的批评指正,谢谢!


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初看这篇文章,开头有对自然的描述,还是容易理解的,但到符号部分就很烧脑了。我们既然读到了这篇文章,还是想办法把其中的内容串起来,使用人们的生产生活的经验,结合自然规律就是一种串联的方式。我们从数字的发展史开始:

自然模式与符号系统.png


从社会的角度来看,符号的产生与发展,与自然及社会成员间的交互是密不可分的。这种与自然或成员的交互可以定义概念,而一个概念的记录形式有多种,呈现一种概率分布,经过交互后,可形成新的分布。这些不同的概念又可以有不同的结合,当时人们并不清楚这些结合的含义,最后的含义可以赋与,也可以涌现。

从读书会的文章,我们识别出社会到符号的一种可能是结构,这个结构中,自然到社会,属于生物学家的专业,社会到计数,属于历史学家的专业,符号到语言,有语言学家在专精这一块。我们只是在计数到符号这一过程做点耕耘。我们结合社会化大生产,来补充文章中的变换、零点,并结合实际案例,来打破传统的计算过程,迎接新的挑战。

Morphs(变换)

天上不会掉馅饼!馅饼是由粮食做出来的,在制做过程中凝聚了大量的人类智慧和劳动。所以在一个由人类组成的特定类型组织中,变换无所不在。作为社会一员,希望大家都能掌握一种变换法则,在社会中占有一席之地。

零点

文章论述过程中有大量measure 0和λ, the null sequence.起码系统中是允许这样的元素存在的,这样元素的作用还需要进一步学习。

逆运算

传统的计算都是正向的,比如先有火车,再有座位。但也可以逆向,需要多少座位,再去找火车。我们可以去尽量满足需求,但也要尽量避免系统陷入不稳定。

需求与产品及其变换建模.png

难题与智能

在混沌课程中,有介绍种群增长模型,它是一个指数增长。每次采样,我们认为是一次迭代。将它写成微分方程

dN(t)/dt = rN(t)

这是没有考虑环境的压力下的,一个生态学假设。引入环境压力后,模型就呈现Logistic形式:

dN(t)/dt = rN(t)(1-N(t)/K)

如果将“1-N(t)/K”看作是抑制项,那是否可以从促进和抑制作用,来看待智能?地球迈入人类纪,怎么更好地理解“科技以人为本”?

循环群

循环群是说,某系统发展到一定程度,会和历史上的阶段相似。数学上的定义是相等,但我们研究的系统,大部分是开放的。所以发展到一定阶段,跟历史接近就可以了。循环群不单用来研究历史,也可以用来研究时序数据,比如第一次工业革命,蒸汽机的齿轮曲轴连杆结构。如果你单看某根杆,是难以彻底理解轮杆结构的工作机制,如果试着把轮杆结构的一个大循环梳理出来,就容易理解了。“机器”大多数时候,是一个往复运动。把这个往复运动抽象成循环群,再辅以蒸汽机整体在“世界”中的运动,基本上能把握到脉络。

重新认识循环群,也是受阴阳五行的启发。有人把五行细化为能量的循环,但他没有把循环封闭,而是下次循环和上次接近,这样更容易使用分形和耗散结构去分析。我个人了解五行,也是想知道相生相克,毕竟就算是蒸汽机的齿轮曲轴连杆结构,也是A和B机构受到挤压,使得C机构以指定方式运动。人生就该多姿多彩,幸好集智上线了“混沌”的课程,所以大家可以想想,熟练工作,循环多次,下一次该多大程度接近起点?

最近看了一下循环群的定义和性质,大致是幂(同一运算迭代)运算到某个值,接近开始位置。循环群是一类被完全解决的群,虽然不知道是啥意思,但以地球和三体来类比,地球有生命,其实是它的轨道还算可以预测;而三体只是想象的过程,在其中寻找稳定结构或秩序,应该是有一定难度的。从计算力学的角度来看,完全优化的轨迹,就是决定论的范畴。地球的轨迹和生态,是完整的循环吗?

传统哲学与近世代数-20230205.png

近世代数当中,从代数系统介绍到循环群时,逐步引入运算,直到幂(指数)。在现实的复杂系统中,更容易观测的运算可能是幂,因为时空是并发的。观测单个运算,才有加法和乘法。意思其实是,很多事物,成品是幂率,但你要理解它,却要从代数系统开始。这是数学语言,音乐有自己的语言,建筑也是。一般音乐有一个特点,由主音开始,随着旋律的进行,各音不断出现,最后结束时会回到主音,和循环群的特点很好的匹配。成品是台上的东西,你能看到幂率和分形,也就是台上的二分钟。但台下数年功,却不容易被看到,有前进,也有迂回。

在理解记忆近世代码的过程中,出现的一个分岔。循环群和元素的阶容易弄混,元素的阶是指该元素幂次n后等于单位元。i=根号-1。

元素的幂集

自己之所以找不到方向,一直在迂回,是因为没有找到共轭对象,消解负面情绪,导致危害社会。待明确对象以后,形成共轭结构,就能朝着祖国号召着方向,有节奏地前进。

抽象代数中,共轭的定义为:

抽象代码-共轭.png

在这个定义中,存在元素和它的逆,但在物元模型中,定义则没有这么严格。物元的共轭性我们可以用“斐波那契(兔子)数列”的通项公式来体现。

斐波那契(兔子)数列.png

我们可以使用该数列的通项公式,来发现它的共轭性:

斐波那契数列通项公式 202305081700.jpg

看过公式,我们再来看自然中的事物,比如“共轭牛”:

木车-集智-共轭牛-202305081.png

物元共轭的两面,共同构成事物,共同推动事物运动。

另外以前对“金木水火土”一直理解不了,只要认为它代表抽象概念,理解起来就容易多了。见的东西少,理解起来有困难,见的多了,自己也会学着归纳总结。借助复杂系统的因果与多层网络,很多事情就理顺了。

谢谢大家!