计算力学
计算力学（Computational Mechanics）是一套用于量化涌现的框架。它以一种计算的视角，研究观察者建立的模型在识别涌现时，模型发生的变化。计算力学以信息论和生物进化的思想为基础，是目前最早的对涌现的定量化研究。在应用当中，该理论提出了对复杂性度量的新指标，即统计复杂度，同时还提出了一套识别涌现的算法。
历史渊源
计算力学源于 20 世纪 70 年代和 80 年代早期非线性物理学领域对流体力学领域湍流问题的研究。为了识别流体湍流中的混沌动力学，Packard和 Crutchfield等人开发了一套吸引子重构方法[1][2]，使用测量的时间序列来重构流体动力系统的状态空间，可以在其中观察混沌吸引子并定量测量它们的不稳定程度及其伴随的复杂性。这套重构方法的有效性在 1983 年通过实验得到了验证[3]，之后就被广泛用于识别和量化确定性混沌系统的行为。但是，这套方法无法简明扼要地表达被重构系统的内部结构。为了解决这个问题，计算力学理论应运而生。
计算力学的首次提出是在1989年，Crutchfield在他的一篇论文中[4]，基于时间序列重构的状态空间[1] 和自动机理论[5][6][7]定义了一种预测等价关系。利用这种关系分析时间序列数据，识别和量化其中有规律的部分，计算力学就可以构建一个能够预测系统未来行为的模型。
计算力学的核心概念是因果态（Causal State），它是一种与微观状态预测等价的特殊的宏观态。基于这种预测等价性的宏观态划分思想可以追溯到70年代的马尔科夫链的成块性（Lumpability）理论。Kemeny和Snell在1969年针对马尔科夫链提出成块性这一概念，目的在于判断一个马尔科夫动力系统是否是可被简化归并的。对于任意一个马尔科夫链，我们可以判断某种划分是否是成块的。成块的划分要求对状态的归并要尽可能地保留马尔可夫链中的原始重要信息，并保证划分操作与动力学操作的可交换性。不过在马尔科夫链中，成块性只是对于划分的一种要求，而没有追求最优的划分。对成块性的进一步了解，请参考词条马尔科夫链的成块性。与之相比，计算力学首先关注的不只是马尔科夫动力学，而是要囊括更广泛的动力学形式。此外，计算力学试图提出一种最优的划分，能极大地保留对预测有用的信息。此外，当一般的动力学过程退化到马尔科夫动力学的时候，成块性的成立条件实际上与因果态的定义具有一定的相似性。
- ↑ 1.0 1.1 Packard, N. H.; Crutchfield, J. P.; Farmer, J. D.; Shaw, R. S. (1980). "Geometry from a time series". Physical Review Letters. 45 (9): 712.
- ↑ Takens, F. (1981). Detecting strange attractors in fluid turbulence. 898. Berlin: Springer-Verlag. pp. 366. https://doi.org/10.1007/BFb0091924.
- ↑ Brandstater, A.; Swift, J.; Swinney, Harry L.; Wolf, A.; Farmer, J. D.; Jen, E.; Crutchfield, J. P. (1983). "Low - dimensional chaos in a hydrodynamic system". Physical Review Letters. 51 (16): 1442.
- ↑ Crutchfield, James P.; Young, Karl (1989). "Inferring Statistical Complexity". Physical Review Letters. 63 (2): 105–108.
- ↑ Minsky, M. (1967). Computation: Finite and Infinite Machines. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice - Hall.
- ↑ Chomsky, N. (1956). "Three models for the description of language". IRE Transactions on Information Theory. 2: 113–124.
- ↑ Hopcroft, J. E.; Ullman, J. D. (1979). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Reading: Addison - Wesley.